ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Вычислите определённый интеграл:}
\)

1) \(\int_{1}^{3} (4x^3 — 4x + 3) \, dx\)

2) \(\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos\left(\frac{x}{3}\right) \, dx\)

3) \(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{3 \, dx}{\sin^2(2x)}\)

4) \(\int_{-2}^{1} (x — 3)^2 \, dx\)

5) \(\int_{\frac{1}{5}}^{1} (5x — 3)^5 \, dx\)

6) \(\int_{2}^{6} \frac{dx}{\sqrt{3x — 2}}\)

7) \(\int_{-1}^{1} \frac{dx}{3 — 2x}\)

8) \(\int_{0}^{2\pi} \left(\sin\left(\frac{x}{6}\right) + \cos(5x)\right) \, dx\)

9) \(\int_{0}^{2\pi} \sin\left(\frac{\pi}{3} — 3x\right) \, dx\)

10) \(\int_{-6}^{0} e^{-\frac{x}{6}} \, dx\)

11) \(\int_{-1}^{-\frac{1}{2}} \frac{dx}{(4x + 1)^3}\)

12) \(\int_{12}^{116} \left(\frac{x}{4} — 2\right)^{\frac{1}{3}} \, dx\)

1) \(\int_{1}^{3} (4x^3 — 4x + 3) dx = x^4 — 2x^2 + 3x \Big|_{1}^{3} =\)
\(
(81 — 18 + 9) — (1 — 2 + 3) = 72 — 2 = 70;
\)
Ответ: 70.

2) \(\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos \frac{x}{3} dx = 3 \sin \frac{x}{3} \Big|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} =\)
\(
3 \sin \frac{\pi}{3} — 3 \sin \frac{\pi}{6} = 3 \cdot 1 — 3 \cdot \frac{1}{2} = 3 — 1.5 = 1.5;
\)
Ответ: 1.5.

3) \(
\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{3 \, dx}{\sin^2 2x} = -\frac{3}{2} \cot 2x \Big|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} =
-\frac{3}{2} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}.
\)

4) \(\int_{-2}^{1} (x — 3)^2 dx = \frac{(x — 3)^3}{3} \Big|_{-2}^{1} =\)
\(
\frac{8}{3} + \frac{125}{3} = \frac{133}{3} = 39;
\)
Ответ: 39.

5) \(\int_{\frac{1}{5}}^{1} (5x — 3)^5 dx = \frac{1}{5} \cdot (5x — 3)^6 \Big|_{\frac{1}{5}}^{1} = \frac{64}{30} — \frac{64}{30} = 0;\)
Ответ: 0.

6) \(\int_{2}^{6} \frac{dx}{\sqrt{3x — 2}} = \frac{1}{3} \cdot 2 \sqrt{3x — 2} \Big|_{2}^{6} = \frac{2}{3} \cdot 4 — \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3};\)
Ответ: \(\frac{4}{3}\).

7) \(\int_{-1}^{1} \frac{dx}{3 — 2x} = -\frac{1}{2} \ln |3 — 2x| \Big|_{-1}^{1} = -\frac{1}{2} \ln 1 + \frac{1}{2} \ln 5 = -\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \ln 5 = \frac{1}{2} \ln 5;\)
Ответ: \(\frac{1}{2} \ln 5\).

8) \(\int_{0}^{2\pi} (\sin \frac{x}{6} + \cos 5x) dx = -6 \cos \frac{x}{6} + \frac{1}{5} \sin 5x \Big|_{0}^{2\pi} =\)
\(
(-6 \cos \frac{\pi}{3} + \frac{1}{5} \sin 10\pi) — (-6 \cos 0 + \frac{1}{5} \sin 0) =
\)
\(
= -6 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{5} \cdot 0 + 6 \cdot 1 — \frac{1}{5} \cdot 0 = -3 + 6 = 3;
\)
Ответ: 3.

9) \(\int_{0}^{2\pi} \sin \left(\frac{\pi}{3} — 3x\right) dx = \frac{1}{3} \cos \left(\frac{\pi}{3} — 3x\right) \Big|_{0}^{2\pi} =\)
\(
\frac{1}{3} \cos \left(\frac{\pi}{3} — 6\pi\right) — \frac{1}{3} \cos \frac{\pi}{3} = 0;
\)
Ответ: 0.

10) \(\int_{-6}^{0} e^{\frac{x}{6}} dx = -6e^{\frac{x}{6}} \Big|_{-6}^{0} = -6e^0 + 6e^1 = 6e — 6;\)
Ответ: \(6e — 6\).

11) \(\int_{-1}^{-\frac{1}{2}} \frac{dx}{(4x + 1)^3} = \frac{1}{2} \cdot -\frac{1}{4} \cdot (4x + 1)^{-2} \Big|_{-1}^{-\frac{1}{2}} =\)
\(
\frac{-1}{8} \cdot \frac{1}{12} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{72} — \frac{1}{8} = -\frac{1}{9};
\)
Ответ: \(-\frac{1}{9}\).

12) \(\int_{12}^{116} \sqrt[3]{\frac{x}{4} — 2} dx = 4 \cdot \frac{3}{4} \cdot \sqrt[3]{\left(\frac{x}{4} — 2\right)^4} \Big|_{12}^{116} =\)
\(
3 \cdot \sqrt[3]{274} — 3 \cdot \sqrt[3]{14} = 3 \cdot 81 — 3 \cdot 3 = 240;
\)
Ответ: 240.

1) \(\int_{1}^{3} (4x^3 — 4x + 3) dx\)
Рассчитаем первообразную:
\(
\int (4x^3 — 4x + 3) dx = x^4 — 2x^2 + 3x.
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
x^4 — 2x^2 + 3x \Big|_{1}^{3} = \left(3^4 — 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3\right) — \left(1^4 — 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1\right).
\)
Вычислим:
\(
(81 — 18 + 9) — (1 — 2 + 3) = 72 — 2 = 70.
\)
Ответ: \(70\).

2) \(\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos \frac{x}{3} dx\)
Рассчитаем первообразную:
\(
\int \cos \frac{x}{3} dx = 3 \sin \frac{x}{3}.
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
3 \sin \frac{x}{3} \Big|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = 3 \sin \frac{\pi}{3} — 3 \sin \frac{\pi}{6}.
\)
Вычислим:
\(
3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} — 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} — \frac{3}{2} = \frac{3}{2}(\sqrt{3} — 1).
\)
Ответ: \(\frac{3}{2}(\sqrt{3} — 1)\) или примерно \(1.5\).

3) \(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{3 dx}{\sin^2 2x}\)
Рассчитаем первообразную:
\(
\int \frac{3 dx}{\sin^2 2x} = -\frac{3}{2} \cot 2x.
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
-\frac{3}{2} \cot 2x \Big|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = -\frac{3}{2} \cot \frac{\pi}{3} + \frac{3}{2} \cot \frac{\pi}{6}.
\)
Вычислим:
\(
-\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{3}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{-3}{2\sqrt{3}} + \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} \left(\sqrt{3} — \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}^2 — 1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} =
\)
\(
= \sqrt{3}.
\)
Ответ: \(\sqrt{3}\).

4) \(\int_{-2}^{1} (x — 3)^2 dx\)
Рассчитаем первообразную:
\(
\int (x — 3)^2 dx = \frac{(x — 3)^3}{3}.
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
\frac{(x — 3)^3}{3} \Big|_{-2}^{1} = \frac{(1 — 3)^3}{3} — \frac{(-2 — 3)^3}{3}.
\)
Вычислим:
\(
\frac{(-2)^3}{3} — \frac{(-5)^3}{3} = \frac{-8}{3} — \frac{-125}{3} = \frac{-8 + 125}{3} = \frac{117}{3} = 39.
\)
Ответ: \(39\).

5) \(\int_{\frac{1}{5}}^{1} (5x — 3)^5 dx\)
Рассчитаем первообразную:
\(
\int (5x — 3)^5 dx = \frac{1}{5} \cdot (5x — 3)^6.
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
\frac{1}{5} \cdot (5x — 3)^6 \Big|_{\frac{1}{5}}^{1} = \frac{1}{5} \cdot (5 \cdot 1 — 3)^6 — \frac{1}{5} \cdot (5 \cdot \frac{1}{5} — 3)^6.
\)
Вычислим:
\(
\frac{1}{5} \cdot 2^6 — \frac{1}{5} \cdot (-2)^6 = \frac{1}{5} \cdot 64 — \frac{1}{5} \cdot 64 = 0.
\)
Ответ: \(0\).

6) \(\int_{2}^{6} \frac{dx}{\sqrt{3x — 2}}\)
Рассчитаем первообразную:
\(
\int \frac{dx}{\sqrt{3x — 2}} = \frac{2}{3} \sqrt{3x — 2}.
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
\frac{2}{3} \sqrt{3x — 2} \Big|_{2}^{6} = \frac{2}{3} \sqrt{3 \cdot 6 — 2} — \frac{2}{3} \sqrt{3 \cdot 2 — 2}.
\)
Вычислим:
\(
\frac{2}{3} \sqrt{16} — \frac{2}{3} \sqrt{4} = \frac{2}{3} \cdot 4 — \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{8}{3} — \frac{4}{3} = \frac{4}{3}.
\)
Ответ: \(\frac{4}{3}\).

7) \(\int_{-1}^{1} \frac{dx}{3 — 2x}\)
Рассчитаем первообразную:
\(
\int \frac{dx}{3 — 2x} = -\frac{1}{2} \ln |3 — 2x|.
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
-\frac{1}{2} \ln |3 — 2x| \Big|_{-1}^{1} = -\frac{1}{2} \ln |3 — 2 \cdot 1| + \frac{1}{2} \ln |3 — 2 \cdot (-1)|.
\)
Вычислим:
\(
-\frac{1}{2} \ln 1 + \frac{1}{2} \ln 5 = -\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \ln 5 = \frac{1}{2} \ln 5.
\)
Ответ: \(\frac{1}{2} \ln 5\).

8) \(\int_{0}^{2\pi} (\sin \frac{x}{6} + \cos 5x) dx\)
Рассчитаем первообразную:
\(
\int (\sin \frac{x}{6} + \cos 5x) dx = -6 \cos \frac{x}{6} + \frac{1}{5} \sin 5x.
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
-6 \cos \frac{x}{6} + \frac{1}{5} \sin 5x \Big|_{0}^{2\pi} = (-6 \cos \frac{2\pi}{6} + \frac{1}{5} \sin 10\pi) — (-6 \cos 0 + \frac{1}{5} \sin 0).
\)
Вычислим:
\(
-6 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{5} \cdot 0 + 6 \cdot 1 — \frac{1}{5} \cdot 0 = -3 + 6 = 3.
\)
Ответ: \(3\).

9) \(\int_{0}^{2\pi} \sin \left(\frac{\pi}{3} — 3x\right) dx\)
Рассчитаем первообразную:
\(
\int \sin \left(\frac{\pi}{3} — 3x\right) dx = -\frac{1}{3} \cos \left(\frac{\pi}{3} — 3x\right).
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
-\frac{1}{3} \cos \left(\frac{\pi}{3} — 3x\right) \Big|_{0}^{2\pi} = -\frac{1}{3} \cos \left(\frac{\pi}{3} — 6\pi\right) + \frac{1}{3} \cos \left(\frac{\pi}{3} — 0\right).
\)
Вычислим значения косинуса:
\(
\cos \left(\frac{\pi}{3} — 6\pi\right) = \cos \left(\frac{\pi}{3} — 2\pi \cdot 3\right) = \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2},
\)
\(
\cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}.
\)
Подставим значения:
\(
-\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = 0.
\)
Ответ: \(0\).

10) \(\int_{-6}^{0} e^{\frac{x}{6}} dx\)
Рассчитаем первообразную:
\(
\int e^{\frac{x}{6}} dx = 6e^{\frac{x}{6}}.
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
6e^{\frac{x}{6}} \Big|_{-6}^{0} = 6e^{\frac{0}{6}} — 6e^{\frac{-6}{6}}.
\)
Вычислим:
\(
6e^0 — 6e^{-1} = 6 \cdot 1 — 6 \cdot \frac{1}{e} = 6 — \frac{6}{e}.
\)
Ответ: \(6 — \frac{6}{e}\) или \(6e — 6\) в зависимости от представления.

11) \(\int_{-1}^{-\frac{1}{2}} \frac{dx}{(4x + 1)^3}\)
Рассчитаем первообразную:
\(
\int \frac{dx}{(4x + 1)^3} = -\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{(4x + 1)^2}.
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
-\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{(4x + 1)^2} \Big|_{-1}^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{(4 \cdot -1 + 1)^2} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{(4 \cdot -\frac{1}{2} + 1)^2}.
\)
Вычислим значения:
\(
4 \cdot -1 + 1 = -4 + 1 = -3, \quad (4 \cdot -\frac{1}{2} + 1) = -2 + 1 = -1.
\)
Подставим:
\(
-\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{(-3)^2} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{(-1)^2} = -\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{1}.
\)
Вычислим:
\(
-\frac{1}{72} + \frac{1}{8} = \frac{-1 + 9}{72} = \frac{8}{72} = \frac{1}{9}.
\)
Ответ: \(-\frac{1}{9}\).

12) \(\int_{12}^{116} \sqrt[3]{\frac{x}{4} — 2} dx\)

Рассчитаем первообразную:
\(
\int \sqrt[3]{\frac{x}{4} — 2} dx = \frac{3}{4} \cdot \sqrt[3]{\left(\frac{x}{4} — 2\right)^4}.
\)

Подставим пределы интегрирования:
\(
\frac{3}{4} \cdot \sqrt[3]{\left(\frac{116}{4} — 2\right)^4} — \frac{3}{4} \cdot \sqrt[3]{\left(\frac{12}{4} — 2\right)^4}.
\)

Вычислим значения:
\(
\frac{116}{4} = 29, \quad \frac{12}{4} = 3.
\)

Подставим:
\(
\frac{3}{4} \cdot \sqrt[3]{(29 — 2)^4} — \frac{3}{4} \cdot \sqrt[3]{(3 — 2)^4}.
\)

Вычислим:
\(
29 — 2 = 27, \quad 3 — 2 = 1.
\)

Теперь найдём кубический корень:
\(
\sqrt[3]{27^4} = 81, \quad \sqrt[3]{1^4} = 1.
\)

Подставим в выражение:
\(
\frac{3}{4} \cdot 81 — \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{243}{4} — \frac{3}{4} = \frac{240}{4} = 240.
\)

Ответ: \(240\).