ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 11.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Вычислите определённый интеграл:}
\)

1) \(\int_{1}^{4} \left( \frac{4}{x^2} + 2x — 3x^2 \right) dx\)

2) \(\int_{\frac{4\pi}{3}}^{4\pi} \sin\left(\frac{x}{4}\right) dx\)

3) \(\int_{0}^{\pi} \frac{dx}{\cos^2\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{3}\right)}\)

4) \(\int_{0}^{1} (2x — 1)^4 dx\)

5) \(\int_{4}^{7} \frac{dx}{\sqrt{3x + 4}}\)

6) \(\int_{\ln 3}^{\ln 4} e^{-2x} dx\)

7) \(\int_{0}^{3} \frac{dx}{3x + 1}\)

8) \(\int_{1}^{\frac{7}{6}} \frac{dx}{(6x — 5)^2}\)

9) \(\int_{1}^{4} \sqrt{7x — 3} dx\)

1) \(\int_{1}^{4} \left( \frac{4}{x^2} + 2x — 3x^2 \right) dx = \frac{-4}{x} + x^2 — x^3 \Big|_{4}^{1}\)
\(
= (-1 + 16 — 64) — (-4 + 1 — 1) = -49 + 4 = -45.
\)
Ответ: \(-45\).

2) \(\int_{\frac{\pi}{3}}^{4\pi} \sin \frac{x}{4} dx = -4 \cos \frac{x}{4} \Big|_{\frac{\pi}{3}}^{4\pi} = -4 \cos \pi + 4 \cos \frac{\pi}{3}\)
\(
= -4 \cdot (-1) + 4 \cdot \frac{1}{2} = 4 + 2 = 6.
\)
Ответ: \(6\).

3) \(\int_{0}^{\pi} \frac{dx}{\cos^2 \frac{x}{2}} = 2 \tan \frac{x}{2} \Big|_{0}^{\pi} = 2 \tan \frac{\pi}{2} — 2 \tan \left(-\frac{\pi}{2}\right)\)
\(
= 2 \cdot \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}.
\)
Ответ: \(\frac{8\sqrt{3}}{3}\).

4) \(\int_{0}^{1} (2x — 1)^4 dx = \frac{1}{10} (2x — 1)^5 \Big|_{0}^{1} = \frac{1}{10} \cdot (1)^5 — \frac{1}{10} \cdot (-1)^5\)
\(
= \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}.
\)
Ответ: \(\frac{1}{5}\).

5) \(\int_{4}^{7} \frac{dx}{\sqrt{3x + 4}} = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \sqrt{3x + 4} \Big|_{4}^{7}\)
\(
= \frac{2}{3} \cdot \sqrt{25} — \frac{2}{3} \cdot \sqrt{16} = \frac{2}{3} \cdot 5 — \frac{2}{3} \cdot 4 = \frac{10}{3} — \frac{8}{3} = \frac{2}{3}.
\)
Ответ: \(\frac{2}{3}\).

6) \(\int_{\ln 3}^{\ln 4} e^{-2x} dx = -\frac{1}{2} e^{-2x} \Big|_{\ln 3}^{\ln 4}\)
\(
= -\frac{1}{2} e^{-2 \ln 4} + \frac{1}{2} e^{-2 \ln 3} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{16} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} = -\frac{1}{32} + \frac{1}{18}.
\)
Приведём к общему знаменателю:
\(
-\frac{9}{288} + \frac{16}{288} = \frac{7}{288}.
\)
Ответ: \(\frac{7}{288}\).

7) \(\int_{0}^{3} \frac{dx}{3x + 1} = \frac{1}{3} \ln |3x + 1| \Big|_{0}^{3}\)
\(
= \frac{1}{3} \ln 10 — \frac{1}{3} \ln 1 = \frac{1}{3} \ln 10.
\)
Ответ: \(\frac{1}{3} \ln 10\).

8) \(\int_{1}^{6} \frac{dx}{(6x — 5)^2} = -\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6x — 5} \Big|_{1}^{6}\)
\(
= -\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{31} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{1} = -\frac{1}{186} + \frac{1}{6}.
\)
Приведём к общему знаменателю:
\(
-\frac{1}{186} + \frac{31}{186} = \frac{30}{186} = \frac{1}{12}.
\)
Ответ: \(\frac{1}{12}\).

9) \(\int_{1}^{4} \sqrt{7x — 3} dx = \frac{2}{7} \cdot \sqrt{(7x — 3)^3} \Big|_{1}^{4}\)
\(
= \frac{2}{7} \cdot \left( \sqrt{(28 — 3)^3} — \sqrt{(7 — 3)^3} \right) = \frac{2}{7} \cdot \left( 53 — 23 \right).
\)
Вычислим:
\(
\frac{2}{7} \cdot 117 = \frac{234}{7}.
\)
Ответ: \(\frac{78}{7}\).

1)
\(
\int_{1}^{4} \left( \frac{4}{x^2} + 2x — 3x^2 \right) dx
\)
Рассмотрим каждую часть отдельно:
1. \(\int \frac{4}{x^2} dx = \frac{-4}{x}\),
2. \(\int 2x dx = x^2\),
3. \(\int -3x^2 dx = -x^3\).

Суммируем их:
\(
\int_{1}^{4} \left( \frac{4}{x^2} + 2x — 3x^2 \right) dx = \left( \frac{-4}{x} + x^2 — x^3 \right) \Big|_{1}^{4}.
\)

Подставляем пределы интегрирования:
\(
\left(-\frac{4}{4} + 4^2 — 4^3\right) — \left(-\frac{4}{1} + 1^2 — 1^3\right) = (-1 + 16 — 64) — (-4 + 1 — 1).
\)
Вычисляем:
\(
-49 + 4 = -45.
\)
Ответ: \(-45\).

2)
\(
\int_{\frac{\pi}{3}}^{4\pi} \sin \frac{x}{4} dx
\)
Для данного интеграла используем формулу:
\(
\int \sin \frac{x}{4} dx = -4 \cos \frac{x}{4}.
\)
Подставляем пределы интегрирования:
\(
-4 \cos \frac{x}{4} \Big|_{\frac{\pi}{3}}^{4\pi} = -4 \cos \pi + 4 \cos \frac{\pi}{3}.
\)

Вычислим значения косинусов:
\(
\cos \pi = -1, \quad \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}.
\)

Подставляем:
\(
-4 \cdot (-1) + 4 \cdot \frac{1}{2} = 4 + 2 = 6.
\)
Ответ: \(6\).

3)
\(
\int_{0}^{\pi} \frac{dx}{\cos^2 \frac{x}{2}}
\)
Используем формулу:
\(
\int \frac{dx}{\cos^2 \frac{x}{2}} = 2 \tan \frac{x}{2}.
\)
Подставляем пределы интегрирования:
\(
2 \tan \frac{x}{2} \Big|_{0}^{\pi} = 2 \tan \frac{\pi}{2} — 2 \tan \left(-\frac{\pi}{2}\right).
\)

Вычислим значения тангенсов:
\(
\tan \frac{\pi}{2} = \sqrt{3}, \quad \tan \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \sqrt{3}.
\)

Подставляем:
\(
2 \cdot \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}.
\)
Ответ: \(\frac{8\sqrt{3}}{3}\).

4)
\(
\int_{0}^{1} (2x — 1)^4 dx
\)
Для данного интеграла используем формулу:
\(
\int (2x — 1)^4 dx = \frac{1}{10} (2x — 1)^5.
\)
Подставляем пределы интегрирования:
\(
\frac{1}{10} (2x — 1)^5 \Big|_{0}^{1} = \frac{1}{10} \cdot (1)^5 — \frac{1}{10} \cdot (-1)^5.
\)

Вычисляем:
\(
\frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}.
\)
Ответ: \(\frac{1}{5}\).

5)
\(
\int_{4}^{7} \frac{dx}{\sqrt{3x + 4}}
\)
Для данного интеграла используем формулу:
\(
\int \frac{dx}{\sqrt{3x + 4}} = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \sqrt{3x + 4}.
\)
Подставляем пределы интегрирования:
\(
\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \sqrt{3x + 4} \Big|_{4}^{7} = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{25} — \frac{2}{3} \cdot \sqrt{16}.
\)

Вычисляем значения корней:
\(
\sqrt{25} = 5, \quad \sqrt{16} = 4.
\)

Подставляем:
\(
\frac{2}{3} \cdot 5 — \frac{2}{3} \cdot 4 = \frac{10}{3} — \frac{8}{3} = \frac{2}{3}.
\)
Ответ: \(\frac{2}{3}\).

6)
\(
\int_{\ln 3}^{\ln 4} e^{-2x} dx
\)
Для данного интеграла используем формулу:
\(
\int e^{-2x} dx = -\frac{1}{2} e^{-2x}.
\)
Подставляем пределы интегрирования:
\(
-\frac{1}{2} e^{-2x} \Big|_{\ln 3}^{\ln 4} = -\frac{1}{2} e^{-2 \ln 4} + \frac{1}{2} e^{-2 \ln 3}.
\)

Используем свойства логарифмов:
\(
e^{-2 \ln 4} = \frac{1}{16}, \quad e^{-2 \ln 3} = \frac{1}{9}.
\)

Подставляем:
\(
-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{16} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} = -\frac{1}{32} + \frac{1}{18}.
\)

Приведём к общему знаменателю:
\(
-\frac{9}{288} + \frac{16}{288} = \frac{7}{288}.
\)
Ответ: \(\frac{7}{288}\).

7)
\(
\int_{0}^{3} \frac{dx}{3x + 1}
\)
Для данного интеграла используем формулу:
\(
\int \frac{dx}{3x + 1} = \frac{1}{3} \ln |3x + 1|.
\)
Подставляем пределы интегрирования:
\(
\frac{1}{3} \ln |3x + 1| \Big|_{0}^{3} = \frac{1}{3} \ln 10 — \frac{1}{3} \ln 1.
\)

Вычисляем:
\(
\ln 1 = 0, \quad \ln 10 = \ln 10.
\)

Итог:
\(
\frac{1}{3} \ln 10.
\)
Ответ: \(\frac{1}{3} \ln 10\).

8)
\(
\int_{1}^{6} \frac{dx}{(6x — 5)^2}
\)
Для данного интеграла используем формулу:
\(
\int \frac{dx}{(6x — 5)^2} = -\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6x — 5}.
\)
Подставляем пределы интегрирования:
\(
-\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6x — 5} \Big|_{1}^{6} = -\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{31} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{1}.
\)

Вычисляем:
\(
-\frac{1}{186} + \frac{1}{6}.
\)

Приведём к общему знаменателю:
\(
-\frac{1}{186} + \frac{31}{186} = \frac{30}{186} = \frac{1}{12}.
\)
Ответ: \(\frac{1}{12}\).

9)
\(
\int_{1}^{4} \sqrt{7x — 3} dx
\)
Для данного интеграла используем формулу:
\(
\int \sqrt{7x — 3} dx = \frac{2}{7} \cdot \sqrt{(7x — 3)^3}.
\)
Подставляем пределы интегрирования:
\(
\frac{2}{7} \cdot \sqrt{(7x — 3)^3} \Big|_{1}^{4} = \frac{2}{7} \cdot \left( \sqrt{(28 — 3)^3} — \sqrt{(7 — 3)^3} \right).
\)

Вычисляем значения:
\(
\sqrt{(28 — 3)^3} = 53, \quad \sqrt{(7 — 3)^3} = 23.
\)

Подставляем:
\(
\frac{2}{7} \cdot (53 — 23) = \frac{2}{7} \cdot 117 = \frac{234}{7}.
\)
Ответ: \(\frac{78}{7}\).