Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 12.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
\(
\text{Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:}
\)
1. \( y = 2x + 1, \quad x = 1, \quad x = 0, \quad y = 0; \)
2. \( y = x^2 + 1, \quad x = 1, \quad x = 2, \quad y = 0; \)
3. \( y = \sqrt{x}, \quad x = 1, \quad x = 4, \quad y = 0; \)
4. \( y = x^2, \quad y = x; \)
5. \( y = \frac{1}{x}, \quad y = 0, \quad x = \frac{1}{2}, \quad x = 2, \quad y = x. \)
1) \(y = 2x + 1, \, x = 1, \, x = 0, \, y = 0;\)
\(
V = \pi \int_{0}^{1} (2x + 1)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{1} (4x^2 + 4x + 1) \, dx;
\)
\(
V = \pi \left(\frac{4x^3}{3} + 2x^2 + x\right) \bigg|_{0}^{1} =
\)
\(
= \pi \left(\frac{4}{3} + 2 + 1\right) = \frac{13\pi}{3};
\)
Ответ: \(\frac{13\pi}{3}.\)
2) \(y = x^2 + 1, \, x = 1, \, x = 2, \, y = 0;\)
\(
V = \pi \int_{1}^{2} (x^2 + 1)^2 \, dx = \pi \int_{1}^{2} (x^4 + 2x^2 + 1) \, dx;
\)
\(
V = \pi \left(\frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x\right) \bigg|_{1}^{2} =
\)
\(
V = \pi \left(\frac{32}{5} + \frac{16}{3} + 2\right) — \pi \left(\frac{1}{5} + \frac{2}{3} + 1\right);
\)
\(
V = \frac{206\pi}{15} — \frac{28\pi}{15} = \frac{178\pi}{15};
\)
Ответ: \(\frac{178\pi}{15}.\)
3) \(y = \sqrt{x}, \, x = 1, \, x = 4, \, y = 0;\)
\(
V = \pi \int_{1}^{4} (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_{1}^{4} x \, dx;
\)
\(
V = \pi \left(\frac{x^2}{2}\right) \bigg|_{1}^{4} = \pi \left(\frac{16}{2} — \frac{1}{2}\right) = \frac{15\pi}{2};
\)
Ответ: \(\frac{15\pi}{2}.\)
4) \(y = x^2, \, y = x;\)
Точки пересечения:
\(
x^2 — x = 0; \quad x(x — 1) = 0; \quad x_1 = 0, \, x_2 = 1;
\)
Площадь фигуры:
\(
V = \pi \int_{0}^{1} ((x^2)^2 — x^2) \, dx = \pi \int_{0}^{1} (x^4 — x^2) \, dx;
\)
\(
V = \pi \left(\frac{x^5}{5} — \frac{x^3}{3}\right) \bigg|_{0}^{1} =
\)
\(
V = \pi \left(\frac{1}{5} — \frac{1}{3}\right) = -\frac{2\pi}{15};
\)
Ответ: \(\frac{2\pi}{15}.\)
5) \(y = \frac{1}{x}, \, y = 0, \, x = \frac{1}{2}, \, x = 2, \, y = x;\)
Точки пересечения:
\(
\frac{1}{x} = x; \quad x^2 = 1; \quad x = \pm 1;
\)
Площадь фигуры:
\(
V = \pi \int_{1}^{2} \left(\frac{1}{x}\right)^2 \, dx + \pi \int_{\frac{1}{2}}^{1} x^2 \, dx;
\)
\(
V = \pi \left(-\frac{1}{x}\right) \bigg|_{1}^{2} + \pi \left(\frac{x^3}{3}\right) \bigg|_{\frac{1}{2}}^{1};
\)
\(
V = \pi \left(-\frac{1}{2} + 1\right) + \pi \left(\frac{1}{3} — \frac{1}{24}\right) =
\)
\(
V = \pi \left(\frac{1}{2} + \frac{8}{24} — \frac{1}{24}\right) = \frac{19\pi}{24};
\)
Ответ: \(\frac{19\pi}{24}.\)
1) \(y = 2x + 1, \, x = 1, \, x = 0, \, y = 0;\)
Объем тела вычисляется по формуле:
\(
V = \pi \int_{0}^{1} (2x + 1)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{1} (4x^2 + 4x + 1) \, dx.
\)
Выполним интегрирование:
\(
V = \pi \left(\frac{4x^3}{3} + 2x^2 + x\right) \bigg|_{0}^{1}.
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
V = \pi \left(\frac{4}{3} + 2 + 1\right) = \frac{13\pi}{3}.
\)
Ответ: \(\frac{13\pi}{3}\).
2) \(y = x^2 + 1, \, x = 1, \, x = 2, \, y = 0;\)
Объем тела вычисляется по формуле:
\(
V = \pi \int_{1}^{2} (x^2 + 1)^2 \, dx = \pi \int_{1}^{2} (x^4 + 2x^2 + 1) \, dx.
\)
Выполним интегрирование:
\(
V = \pi \left(\frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x\right) \bigg|_{1}^{2}.
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
V = \pi \left(\frac{32}{5} + \frac{16}{3} + 2\right) — \pi \left(\frac{1}{5} + \frac{2}{3} + 1\right).
\)
Выполним вычисления:
\(
V = \frac{206\pi}{15} — \frac{28\pi}{15} = \frac{178\pi}{15}.
\)
Ответ: \(\frac{178\pi}{15}\).
3) \(y = \sqrt{x}, \, x = 1, \, x = 4, \, y = 0;\)
Объем тела вычисляется по формуле:
\(
V = \pi \int_{1}^{4} (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_{1}^{4} x \, dx.
\)
Выполним интегрирование:
\(
V = \pi \left(\frac{x^2}{2}\right) \bigg|_{1}^{4}.
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
V = \pi \left(\frac{16}{2} — \frac{1}{2}\right) = \frac{15\pi}{2}.
\)
Ответ: \(\frac{15\pi}{2}\).
4) \(y = x^2, \, y = x;\)
Точки пересечения находятся из уравнения:
\(
x^2 — x = 0 \quad \Rightarrow \quad x(x — 1) = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 0, \, x_2 = 1.
\)
Объем тела вычисляется по формуле:
\(
V = \pi \int_{0}^{1} ((x^2)^2 — x^2) \, dx = \pi \int_{0}^{1} (x^4 — x^2) \, dx.
\)
Выполним интегрирование:
\(
V = \pi \left(\frac{x^5}{5} — \frac{x^3}{3}\right) \bigg|_{0}^{1}.
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
V = \pi \left(\frac{1}{5} — \frac{1}{3}\right).
\)
Выполним вычисления:
\(
V = \pi \left(-\frac{2}{15}\right) = -\frac{2\pi}{15}.
\)
Ответ: \(\frac{2\pi}{15}\).
5) \(y = \frac{1}{x}, \, y = 0, \, x = \frac{1}{2}, \, x = 2, \, y = x;\)
Точки пересечения находятся из уравнения:
\(
\frac{1}{x} = x \quad \Rightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1.
\)
Объем тела вычисляется по формуле:
\(
V = \pi \int_{1}^{2} \left(\frac{1}{x}\right)^2 \, dx + \pi \int_{\frac{1}{2}}^{1} x^2 \, dx.
\)
Выполним интегрирование:
\(
V = \pi \left(-\frac{1}{x}\right) \bigg|_{1}^{2} + \pi \left(\frac{x^3}{3}\right) \bigg|_{\frac{1}{2}}^{1}.
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
V = \pi \left(-\frac{1}{2} + 1\right) + \pi \left(\frac{1}{3} — \frac{1}{24}\right).
\)
Выполним вычисления:
\(
V = \pi \left(\frac{1}{2} + \frac{8}{24} — \frac{1}{24}\right) = \frac{19\pi}{24}.
\)
Ответ: \(\frac{19\pi}{24}\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.