Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 12.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:
1) \( y = \sqrt{\cos(x)}, \quad y = 0, \quad x = -\frac{\pi}{4}, \quad x = \frac{\pi}{4}; \)
2) \( y = x — x^2, \quad y = 0; \)
3) \( y = \sqrt{x}, \quad y = 1, \quad x = 2. \)
1) \(y = \sqrt{\cos x}, \, y = 0, \, x = -\frac{\pi}{4}, \, x = \frac{\pi}{4};\)
\(
V = \pi \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} (\sqrt{\cos x})^2 \, dx = \pi \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \, dx;
\)
\(
V = \pi \cdot (\sin x) \bigg|_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \pi \cdot \sin \frac{\pi}{4} — \pi \cdot \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \pi \sqrt{2};
\)
Ответ: \(\pi \sqrt{2}\).
2) \(y = x — x^2, \, y = 0;\)
Точки пересечения:
\(
x — x^2 = 0;
\)
\(
x(1 — x) = 0;
\)
\(
x_1 = 0, \, x_2 = 1;
\)
Площадь фигуры:
\(
V = \pi \int_{0}^{1} (x — x^2)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{1} (x^2 — 2x^3 + x^4) \, dx;
\)
\(
V = \pi \left(\frac{x^3}{3} — \frac{2x^4}{4} + \frac{x^5}{5}\right) \bigg|_{0}^{1} = \pi \left(\frac{1}{3} — \frac{1}{2} + \frac{1}{5}\right) = \frac{\pi}{30};
\)
Ответ: \(\frac{\pi}{30}\).
3) \(y = \sqrt{x}, \, y = 1, \, x = 2;\)
Точки пересечения:
\(
\sqrt{x} = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 1;
\)
Площадь фигуры:
\(
V = \pi \int_{1}^{2} \left((\sqrt{x})^2 — 1^2\right) \, dx = \pi \int_{1}^{2} (x — 1) \, dx;
\)
\(
V = \pi \left(\frac{x^2}{2} — x\right) \bigg|_{1}^{2} = \pi \left(\frac{4}{2} — 2 — \frac{1}{2} + 1\right) = \frac{\pi}{2};
\)
Ответ: \(\frac{\pi}{2}\).
1) \(y = \sqrt{\cos x}, \, y = 0, \, x = -\frac{\pi}{4}, \, x = \frac{\pi}{4};\)
Объем тела вращения вычисляется по формуле:
\(
V = \pi \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} (\sqrt{\cos x})^2 \, dx
\)
Упрощаем интеграл:
\(
V = \pi \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \, dx
\)
Теперь вычислим интеграл:
\(
V = \pi \cdot (\sin x) \bigg|_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
= \pi \cdot \sin \frac{\pi}{4} — \pi \cdot \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)
\)
Поскольку \(\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\), получаем:
\(
= \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} — \pi \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
\)
Таким образом:
\(
= \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \pi \sqrt{2}
\)
Ответ: \(\pi \sqrt{2}\).
2) \(y = x — x^2, \, y = 0;\)
Точки пересечения находятся путем решения уравнения:
\(
x — x^2 = 0
\)
Факторизуем:
\(
x(1 — x) = 0
\)
Таким образом, получаем:
\(
x_1 = 0, \, x_2 = 1
\)
Теперь найдем площадь фигуры:
\(
V = \pi \int_{0}^{1} (x — x^2)^2 \, dx
\)
Раскроем скобки:
\(
= \pi \int_{0}^{1} (x^2 — 2x^3 + x^4) \, dx
\)
Теперь вычислим интеграл:
\(
V = \pi \left(\frac{x^3}{3} — \frac{2x^4}{4} + \frac{x^5}{5}\right) \bigg|_{0}^{1}
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
= \pi \left(\frac{1^3}{3} — \frac{2(1^4)}{4} + \frac{1^5}{5}\right) — \pi \left(\frac{0^3}{3} — 0 + 0\right)
\)
Это упрощается до:
\(
= \pi \left(\frac{1}{3} — \frac{1}{2} + \frac{1}{5}\right)
\)
Теперь найдем общий знаменатель:
Общий знаменатель для \(3, 2, 5\) равен \(30\):
\(
= \pi \left(\frac{10}{30} — \frac{15}{30} + \frac{6}{30}\right) = \pi \left(\frac{10 — 15 + 6}{30}\right) = \pi \left(\frac{1}{30}\right)
\)
Таким образом:
\(
V = \frac{\pi}{30}
\)
Ответ: \(\frac{\pi}{30}\).
3) \(y = \sqrt{x}, \, y = 1, \, x = 2;\)
Точки пересечения определяются решением уравнения:
\(
\sqrt{x} = 1
\)
Возведем обе стороны в квадрат:
\(
x = 1
\)
Теперь найдем площадь фигуры:
\(
V = \pi \int_{1}^{2} ((\sqrt{x})^2 — 1^2) \, dx
\)
Упрощаем:
\(
= \pi \int_{1}^{2} (x — 1) \, dx
\)
Теперь вычислим интеграл:
\(
V = \pi \left(\frac{x^2}{2} — x\right) \bigg|_{1}^{2}
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
= \pi \left(\frac{(2)^2}{2} — 2 — \left(\frac{(1)^2}{2} — 1\right)\right)
\)
Это упрощается до:
\(
= \pi (2 — 2 — (\frac{1}{2} — 1)) = \pi (0 + 0.5) = \frac{\pi}{2}
\)
Ответ: \(\frac{\pi}{2}\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.