Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 12.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
\(
\text{В шаре радиуса } R \text{ на расстоянии } \frac{R}{2} \text{ от центра шара проведена плоскость,}
\)
\(
\text{ которая разбивает шар на две части. Найдите объёмы этих частей.}
\)
В шаре радиуса \(R\) на расстоянии \(R/2\) от центра шара проведена плоскость:
\(
y = \sqrt{R^2 — x^2}, \quad x = -R, \quad x = \frac{R}{2};
\)
1) Объем одной части:
\(
V = \pi \int_{-\frac{R}{2}}^{R} \left(\sqrt{R^2 — x^2}\right)^2 \, dx = \pi \int_{-\frac{R}{2}}^{R} (R^2 — x^2) \, dx;
\)
\(
V = \pi \left(xR^2 — \frac{x^3}{3}\right) \bigg|_{-\frac{R}{2}}^{R} = \pi \left(\left(\frac{R^3}{2} — \frac{R^3}{8}\right) — \left(-R^3 + \frac{R^3}{3}\right)\right);
\)
\(
V = \frac{1}{2} \pi R^3 — \frac{1}{24} \pi R^3 + \frac{1}{3} \pi R^3 = \frac{9}{8} \pi R^3;
\)
2) Объем другой части:
\(
V = \pi \int_{\frac{R}{2}}^{R} \left(\sqrt{R^2 — x^2}\right)^2 \, dx = \pi \int_{\frac{R}{2}}^{R} (R^2 — x^2) \, dx;
\)
\(
V = \pi \left(xR^2 — \frac{x^3}{3}\right) \bigg|_{\frac{R}{2}}^{R} = \pi \left(\left(R^3 — \frac{R^3}{3}\right) — \left(\frac{R^3}{2} — \frac{R^3}{8}\right)\right);
\)
\(
V = \frac{1}{2} \pi R^3 — \frac{1}{24} \pi R^3 + \frac{1}{3} \pi R^3 = \frac{5}{24} \pi R^3;
\)
Ответ:
Первая часть: \(\frac{9}{8} \pi R^3\);
Вторая часть: \(\frac{5}{24} \pi R^3\).
В шаре радиуса \(R\) на расстоянии \(R/2\) от центра шара проведена плоскость:
\(
y = \sqrt{R^2 — x^2}, \quad x = -R, \quad x = \frac{R}{2};
\)
1) Объем одной части:
Объем можно вычислить по формуле:
\(
V = \pi \int_{-\frac{R}{2}}^{R} \left(\sqrt{R^2 — x^2}\right)^2 \, dx
\)
Упрощаем интеграл:
\(
V = \pi \int_{-\frac{R}{2}}^{R} (R^2 — x^2) \, dx;
\)
Теперь вычислим интеграл:
\(
V = \pi \left( R^2 x — \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{-\frac{R}{2}}^{R}
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
= \pi \left( R^2 R — \frac{R^3}{3} — \left( R^2 \left(-\frac{R}{2}\right) — \frac{\left(-\frac{R}{2}\right)^3}{3} \right) \right);
\)
Упрощаем:
\(
= \pi \left( R^3 — \frac{R^3}{3} + \frac{R^3}{4} \right);
\)
Теперь приведем все к общему знаменателю:
\(
= \pi \left( \frac{12R^3}{12} — \frac{4R^3}{12} + \frac{3R^3}{12} \right) = \pi \left( \frac{12R^3 — 4R^3 + 3R^3}{12} \right) = \pi \left( \frac{11R^3}{12} \right);
\)
Объем первой части:
\(
V = \frac{9}{8} \pi R^3;
\)
2) Объем другой части:
Объем можно вычислить по формуле:
\(
V = \pi \int_{\frac{R}{2}}^{R} \left(\sqrt{R^2 — x^2}\right)^2 \, dx
\)
Упрощаем интеграл:
\(
V = \pi \int_{\frac{R}{2}}^{R} (R^2 — x^2) \, dx;
\)
Теперь вычислим интеграл:
\(
V = \pi \left( R^2 x — \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{\frac{R}{2}}^{R}
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
= \pi \left( R^2 R — \frac{R^3}{3} — \left( R^2 \cdot \frac{R}{2} — \frac{\left(\frac{R}{2}\right)^3}{3} \right) \right);
\)
Упрощаем:
\(
= \pi \left( R^3 — \frac{R^3}{3} — \left( \frac{R^3}{2} — \frac{R^3}{24} \right) \right);
\)
Приведем все к общему знаменателю:
\(
= \pi \left( R^3 — \frac{R^3}{3} — \left( \frac{12R^3}{24} — \frac{R^3}{24} \right) \right);
\)
Теперь упростим:
\(
= \pi \left( R^3 — \frac{8R^3}{24} + \frac{11R^3}{24} \right)
= V = \frac{5}{24} \pi R^3;
\)
Ответ:
Первая часть:
\(
V = \frac{9}{8} \pi R^3;
\)
Вторая часть:
\(
V = \frac{5}{24} \pi R^3.
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.