Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 12.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
\(
\text{Докажите, что объем шара радиуса } R \text{ равен } \frac{4}{3} \pi R^3.
\)
Пусть \(R\) — радиус шара, тогда:
\(
y = \sqrt{R^2 — x^2}, \quad x = -R, \quad x = R;
\)
\(
V = \pi \int_{-R}^{R} \left(\sqrt{R^2 — x^2}\right)^2 \, dx = \pi \int_{-R}^{R} (R^2 — x^2) \, dx;
\)
\(
V = \pi \left(xR^2 — \frac{x^3}{3}\right) \bigg|_{-R}^{R} = \pi \left(\left(\frac{R^3}{3} — \frac{R^3}{3}\right) — \left(-R^3 + \frac{R^3}{3}\right)\right);
\)
\(
V = \pi R^3 — \frac{1}{3} \pi R^3 + \pi R^3 — \frac{1}{3} \pi R^3 = 2\pi R^3 — \frac{2}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi R^3;
\)
Что и требовалось доказать.
Пусть \(R\) — радиус шара, тогда:
\(
y = \sqrt{R^2 — x^2}, \quad x = -R, \quad x = R;
\)
Объем тела, образованного вращением, можно вычислить по формуле:
\(
V = \pi \int_{-R}^{R} \left(\sqrt{R^2 — x^2}\right)^2 \, dx.
\)
Упрощаем выражение под интегралом:
\(
V = \pi \int_{-R}^{R} (R^2 — x^2) \, dx.
\)
Теперь вычислим интеграл:
\(
V = \pi \left( R^2 x — \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{-R}^{R}.
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
= \pi \left( \left( R^2 R — \frac{R^3}{3} \right) — \left( R^2 (-R) — \frac{(-R)^3}{3} \right) \right).
\)
Упрощаем каждую часть:
1. Для первого предела:
\(
R^2 R — \frac{R^3}{3} = R^3 — \frac{R^3}{3} = \frac{3R^3}{3} — \frac{R^3}{3} = \frac{2R^3}{3}.
\)
2. Для второго предела:
\(
R^2 (-R) — \frac{(-R)^3}{3} = -R^3 + \frac{R^3}{3} = -\frac{3R^3}{3} + \frac{R^3}{3} = -\frac{2R^3}{3}.
\)
Теперь подставим эти результаты обратно в выражение для объема:
\(
V = \pi \left( \frac{2R^3}{3} — \left(-\frac{2R^3}{3}\right) \right).
\)
Это упрощается до:
\(
V = \pi \left( \frac{2R^3}{3} + \frac{2R^3}{3} \right) = \pi \left( \frac{4R^3}{3} \right).
\)
Таким образом, объем шара равен:
\(
V = \frac{4}{3} \pi R^3.
\)
Что и требовалось доказать.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.