ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 12.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Докажите, что объем шара радиуса } R \text{ равен } \frac{4}{3} \pi R^3.
\)

Пусть \(R\) — радиус шара, тогда:

\(
y = \sqrt{R^2 — x^2}, \quad x = -R, \quad x = R;
\)

\(
V = \pi \int_{-R}^{R} \left(\sqrt{R^2 — x^2}\right)^2 \, dx = \pi \int_{-R}^{R} (R^2 — x^2) \, dx;
\)

\(
V = \pi \left(xR^2 — \frac{x^3}{3}\right) \bigg|_{-R}^{R} = \pi \left(\left(\frac{R^3}{3} — \frac{R^3}{3}\right) — \left(-R^3 + \frac{R^3}{3}\right)\right);
\)

\(
V = \pi R^3 — \frac{1}{3} \pi R^3 + \pi R^3 — \frac{1}{3} \pi R^3 = 2\pi R^3 — \frac{2}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi R^3;
\)

Что и требовалось доказать.

Пусть \(R\) — радиус шара, тогда:

\(
y = \sqrt{R^2 — x^2}, \quad x = -R, \quad x = R;
\)

Объем тела, образованного вращением, можно вычислить по формуле:

\(
V = \pi \int_{-R}^{R} \left(\sqrt{R^2 — x^2}\right)^2 \, dx.
\)

Упрощаем выражение под интегралом:

\(
V = \pi \int_{-R}^{R} (R^2 — x^2) \, dx.
\)

Теперь вычислим интеграл:

\(
V = \pi \left( R^2 x — \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{-R}^{R}.
\)

Подставим пределы интегрирования:

\(
= \pi \left( \left( R^2 R — \frac{R^3}{3} \right) — \left( R^2 (-R) — \frac{(-R)^3}{3} \right) \right).
\)

Упрощаем каждую часть:

1. Для первого предела:
\(
R^2 R — \frac{R^3}{3} = R^3 — \frac{R^3}{3} = \frac{3R^3}{3} — \frac{R^3}{3} = \frac{2R^3}{3}.
\)

2. Для второго предела:
\(
R^2 (-R) — \frac{(-R)^3}{3} = -R^3 + \frac{R^3}{3} = -\frac{3R^3}{3} + \frac{R^3}{3} = -\frac{2R^3}{3}.
\)

Теперь подставим эти результаты обратно в выражение для объема:

\(
V = \pi \left( \frac{2R^3}{3} — \left(-\frac{2R^3}{3}\right) \right).
\)

Это упрощается до:

\(
V = \pi \left( \frac{2R^3}{3} + \frac{2R^3}{3} \right) = \pi \left( \frac{4R^3}{3} \right).
\)

Таким образом, объем шара равен:

\(
V = \frac{4}{3} \pi R^3.
\)

Что и требовалось доказать.