ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 12.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Выведите формулу для вычисления объёма конуса.

Пусть \(h\) — высота, \(x_0\) — точка на высоте конуса и \(S\) — площадь основания, тогда:

\(
\frac{S(x_0)}{S} = \frac{x_0^2}{h^2}, \quad S(x_0) = \frac{x_0^2}{h^2} S;
\)

\(
V = \int_0^h S(x) \, dx = \int_0^h \frac{x^2}{h^2} S \, dx = \frac{S}{h^2} \int_0^h x^2 \, dx;
\)

\(
V = \frac{S}{h^2} \left(\frac{x^3}{3}\right)_{0}^{h} = \frac{S}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3} = \frac{S h}{3} = \frac{1}{3} \pi R^2 h;
\)

Ответ: \(\frac{1}{3} \pi R^2 h\).

Пусть \(h\) — высота, \(x_0\) — точка на высоте конуса и \(S\) — площадь основания, тогда:

\(
\frac{S(x_0)}{S} = \frac{x_0^2}{h^2}, \quad S(x_0) = \frac{x_0^2}{h^2} S.
\)

Объем конуса можно выразить через интеграл:

\(
V = \int_0^h S(x) \, dx.
\)

Подставим выражение для площади сечения \(S(x)\):

\(
V = \int_0^h S(x) \, dx = \int_0^h \frac{x^2}{h^2} S \, dx.
\)

Вынесем постоянный множитель \(\frac{S}{h^2}\) за знак интеграла:

\(
V = \frac{S}{h^2} \int_0^h x^2 \, dx.
\)

Теперь вычислим интеграл \(\int_0^h x^2 \, dx\):

\(
\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C.
\)

Применим пределы интегрирования:

\(
\int_0^h x^2 \, dx = \left(\frac{x^3}{3}\right)_{0}^{h} = \frac{h^3}{3} — \frac{0^3}{3} = \frac{h^3}{3}.
\)

Теперь подставим это значение обратно в выражение для объема:

\(
V = \frac{S}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3} = \frac{S h}{3}.
\)

Если \(S = \pi R^2\) (площадь основания конуса), то объем можно записать как:

\(
V = \frac{1}{3} \pi R^2 h.
\)

Таким образом, ответ:

\(
V = \frac{1}{3} \pi R^2 h.
\)