Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 12.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Выведите формулу для вычисления объёма конуса.
Пусть \(h\) — высота, \(x_0\) — точка на высоте конуса и \(S\) — площадь основания, тогда:
\(
\frac{S(x_0)}{S} = \frac{x_0^2}{h^2}, \quad S(x_0) = \frac{x_0^2}{h^2} S;
\)
\(
V = \int_0^h S(x) \, dx = \int_0^h \frac{x^2}{h^2} S \, dx = \frac{S}{h^2} \int_0^h x^2 \, dx;
\)
\(
V = \frac{S}{h^2} \left(\frac{x^3}{3}\right)_{0}^{h} = \frac{S}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3} = \frac{S h}{3} = \frac{1}{3} \pi R^2 h;
\)
Ответ: \(\frac{1}{3} \pi R^2 h\).
Пусть \(h\) — высота, \(x_0\) — точка на высоте конуса и \(S\) — площадь основания, тогда:
\(
\frac{S(x_0)}{S} = \frac{x_0^2}{h^2}, \quad S(x_0) = \frac{x_0^2}{h^2} S.
\)
Объем конуса можно выразить через интеграл:
\(
V = \int_0^h S(x) \, dx.
\)
Подставим выражение для площади сечения \(S(x)\):
\(
V = \int_0^h S(x) \, dx = \int_0^h \frac{x^2}{h^2} S \, dx.
\)
Вынесем постоянный множитель \(\frac{S}{h^2}\) за знак интеграла:
\(
V = \frac{S}{h^2} \int_0^h x^2 \, dx.
\)
Теперь вычислим интеграл \(\int_0^h x^2 \, dx\):
\(
\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C.
\)
Применим пределы интегрирования:
\(
\int_0^h x^2 \, dx = \left(\frac{x^3}{3}\right)_{0}^{h} = \frac{h^3}{3} — \frac{0^3}{3} = \frac{h^3}{3}.
\)
Теперь подставим это значение обратно в выражение для объема:
\(
V = \frac{S}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3} = \frac{S h}{3}.
\)
Если \(S = \pi R^2\) (площадь основания конуса), то объем можно записать как:
\(
V = \frac{1}{3} \pi R^2 h.
\)
Таким образом, ответ:
\(
V = \frac{1}{3} \pi R^2 h.
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.