ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что:

1) \( z + \overline{z} = 2 \text{Re}(z) \)

2) \( z — \overline{z} = 2i \text{Im}(z) \)

1) \(z + \overline{z} = 2 \text{Re} z\);
\((\text{Re} z + i \text{Im} z) + (\text{Re} z — i \text{Im} z) = 2 \text{Re} z;\)
\(\text{Re} z + \text{Re} z = 2 \text{Re} z;\)
\(2 \text{Re} z = 2 \text{Re} z;\)
Равенство доказано.

2) \(z — \overline{z} = 2i \text{Im} z\);
\((\text{Re} z + i \text{Im} z) — (\text{Re} z — i \text{Im} z) = 2i \text{Im} z;\)
\(i \text{Im} z + i \text{Im} z = 2i \text{Im} z;\)
\(2i \text{Im} z = 2i \text{Im} z;\)
Равенство доказано.

1) Рассмотрим равенство \(z + \overline{z} = 2 \text{Re} z\):

— Пусть \(z\) представляется в виде \(z = \text{Re} z + i \text{Im} z\), где \(\text{Re} z\) — действительная часть, а \(\text{Im} z\) — мнимая часть.
— Сопряжённое число \(\overline{z}\) будет равно \(\overline{z} = \text{Re} z — i \text{Im} z\).
— Теперь подставим \(z\) и \(\overline{z}\) в левую часть равенства:
\(
z + \overline{z} = (\text{Re} z + i \text{Im} z) + (\text{Re} z — i \text{Im} z).
\)
— Упрощаем выражение:
\(
= \text{Re} z + i \text{Im} z + \text{Re} z — i \text{Im} z.
\)
— Объединим действительные и мнимые части:
\(
= \text{Re} z + \text{Re} z + i \text{Im} z — i \text{Im} z.
\)
— Мнимые части взаимно уничтожаются:
\(
= 2 \text{Re} z.
\)
— Таким образом, мы имеем:
\(
z + \overline{z} = 2 \text{Re} z.
\)
— Равенство доказано.

2) Рассмотрим равенство \(z — \overline{z} = 2i \text{Im} z\):

— Опять представим \(z\) как \(z = \text{Re} z + i \text{Im} z\) и его сопряжённое число как \(\overline{z} = \text{Re} z — i \text{Im} z\).
— Подставим \(z\) и \(\overline{z}\) в левую часть равенства:
\(
z — \overline{z} = (\text{Re} z + i \text{Im} z) — (\text{Re} z — i \text{Im} z).
\)
— Упрощаем выражение:
\(
= \text{Re} z + i \text{Im} z — \text{Re} z + i \text{Im} z.
\)
— Объединим действительные и мнимые части:
\(
= 0 + 2i \text{Im} z.
\)
— Таким образом, мы имеем:
\(
z — \overline{z} = 2i \text{Im} z.
\)
— Равенство доказано.