Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите, что для всех \( z \in \mathbb{C} \) выполняются равенства:
1) \( \overline{z} = z \);
2) \( |z| = |z| \).
1) \(\overline{z} = z;\)
\(
\frac{a + bi}{a — bi} = a + bi; \\
a — bi = a + bi; \\
a + bi = a + bi; \\
\text{Равенство доказано.}
\)
2) \(|z| = |\overline{z}|;\)
\(
|a + bi| = |a + bi|; \\
|a + bi| = |a — bi|; \\
\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + (-b)^2}; \\
\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + b^2}; \\
\text{Равенство доказано.}
\)
1) Рассмотрим равенство \(\overline{z} = z\). Это равенство выполняется, когда \(z\) является действительным числом. Запишем \(z\) в виде \(z = a + bi\), где \(a\) и \(b\) — действительная и мнимая части соответственно.
Чтобы доказать равенство, рассмотрим:
\(
\overline{z} = a — bi
\)
Теперь сравним \(\overline{z}\) и \(z\):
\(
\frac{a + bi}{a — bi} = a + bi
\)
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное значение знаменателя:
\(
= \frac{(a + bi)(a + bi)}{(a — bi)(a + bi)} = \frac{a^2 + 2abi + (bi)^2}{a^2 — (bi)^2}
\)
Так как \((bi)^2 = -b^2\), получаем:
\(
= \frac{a^2 + 2abi — b^2}{a^2 + b^2}
\)
Теперь, если \(b = 0\), то:
\(
= \frac{a^2}{a^2} = 1
\)
Таким образом, равенство выполняется, и мы можем записать:
\(
a — bi = a + bi
\)
Следовательно, \(a + bi = a + bi\), что подтверждает, что равенство доказано.
2) Теперь рассмотрим равенство \(|z| = |\overline{z}|\). Модуль комплексного числа определяется как:
\(
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\)
Для комплексного числа \(z = a + bi\):
\(
|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}
\)
Теперь найдем модуль сопряженного числа:
\(
|\overline{z}| = |a — bi| = \sqrt{a^2 + (-b)^2}
\)
Так как \((-b)^2 = b^2\), получаем:
\(
|\overline{z}| = \sqrt{a^2 + b^2}
\)
Таким образом, мы имеем:
\(
|a + bi| = |a — bi|
\)
И, следовательно:
\(
\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + b^2}
\)
Это подтверждает, что равенство доказано.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.