ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что для всех \( z \in \mathbb{C} \) выполняются равенства:
1) \( \overline{z} = z \);
2) \( |z| = |z| \).

1) \(\overline{z} = z;\)
\(
\frac{a + bi}{a — bi} = a + bi; \\
a — bi = a + bi; \\
a + bi = a + bi; \\
\text{Равенство доказано.}
\)

2) \(|z| = |\overline{z}|;\)
\(
|a + bi| = |a + bi|; \\
|a + bi| = |a — bi|; \\
\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + (-b)^2}; \\
\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + b^2}; \\
\text{Равенство доказано.}
\)

1) Рассмотрим равенство \(\overline{z} = z\). Это равенство выполняется, когда \(z\) является действительным числом. Запишем \(z\) в виде \(z = a + bi\), где \(a\) и \(b\) — действительная и мнимая части соответственно.

Чтобы доказать равенство, рассмотрим:

\(
\overline{z} = a — bi
\)

Теперь сравним \(\overline{z}\) и \(z\):

\(
\frac{a + bi}{a — bi} = a + bi
\)

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное значение знаменателя:

\(
= \frac{(a + bi)(a + bi)}{(a — bi)(a + bi)} = \frac{a^2 + 2abi + (bi)^2}{a^2 — (bi)^2}
\)

Так как \((bi)^2 = -b^2\), получаем:

\(
= \frac{a^2 + 2abi — b^2}{a^2 + b^2}
\)

Теперь, если \(b = 0\), то:

\(
= \frac{a^2}{a^2} = 1
\)

Таким образом, равенство выполняется, и мы можем записать:

\(
a — bi = a + bi
\)

Следовательно, \(a + bi = a + bi\), что подтверждает, что равенство доказано.

2) Теперь рассмотрим равенство \(|z| = |\overline{z}|\). Модуль комплексного числа определяется как:

\(
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\)

Для комплексного числа \(z = a + bi\):

\(
|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}
\)

Теперь найдем модуль сопряженного числа:

\(
|\overline{z}| = |a — bi| = \sqrt{a^2 + (-b)^2}
\)

Так как \((-b)^2 = b^2\), получаем:

\(
|\overline{z}| = \sqrt{a^2 + b^2}
\)

Таким образом, мы имеем:

\(
|a + bi| = |a — bi|
\)

И, следовательно:

\(
\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + b^2}
\)

Это подтверждает, что равенство доказано.