ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Докажите, что для всех } z \in \mathbb{C} \text{ число } z^2 + (\overline{z})^2 \text{ является действительным.}
\)

\(
z^2 + \overline{z}^2 = (a + bi)^2 + (a + bi)^2 = (a + bi)^2 + (a — bi)^2 =
\)
\(
= a^2 + abi + b^2 i^2 + a^2 — abi + b^2 i^2 = a^2 — b^2 + a^2 — b^2 = 2a^2 — 2b^2;
\)

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим комплексное число \( z = a + bi \), где \( a \) — действительная часть, а \( b \) — мнимая часть. Мы хотим доказать, что выражение \( z^2 + \overline{z}^2 \) является действительным числом.

Сначала запишем выражение:

\(
z^2 + \overline{z}^2
\)

где \( \overline{z} \) — это комплексное сопряженное число, которое можно записать как \( \overline{z} = a — bi \).

Теперь подставим эти выражения в формулу:

\(
z^2 + \overline{z}^2 = (a + bi)^2 + (a — bi)^2
\)

Теперь вычислим каждое из квадратов по отдельности.

Сначала найдем \( (a + bi)^2 \):

\(
(a + bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = a^2 + 2abi — b^2
\)

Теперь найдем \( (a — bi)^2 \):

\(
(a — bi)^2 = a^2 — 2abi + (bi)^2 = a^2 — 2abi — b^2
\)

Теперь сложим оба результата:

\(
z^2 + \overline{z}^2 = (a^2 + 2abi — b^2) + (a^2 — 2abi — b^2)
\)

Сложив эти два выражения, получаем:

\(
= a^2 + 2abi — b^2 + a^2 — 2abi — b^2
\)

Объединим подобные члены:

\(
= a^2 + a^2 — b^2 — b^2 + 2abi — 2abi
\)

Таким образом, получаем:

\(
= 2a^2 — 2b^2
\)

Это выражение является действительным числом, так как оно не содержит мнимой части.

Что и требовалось доказать.