ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что равенство z=z справедливо тогда и только тогда, когда z — действительное число.

Доказать, что равенство справедливо только при действительном числе \(z\):

\(
\overline{z} = z;
\)

\(
(a + bi) = a + bi;
\)

\(
a — bi = a + bi;
\)

\(
2bi = 0;
\)

\(
b = 0;
\)

Что и требовалось доказать.

Мы хотим доказать, что равенство \(\overline{z} = z\) справедливо только при действительном числе \(z\).

Рассмотрим комплексное число \(z\), которое можно записать в виде:

\(
z = a + bi
\)

где \(a\) — действительная часть, а \(b\) — мнимая часть. Теперь запишем сопряженное число \(\overline{z}\):

\(
\overline{z} = a — bi
\)

Теперь подставим это выражение в равенство:

\(
\overline{z} = z
\)

Это дает нам:

\(
a — bi = a + bi
\)

Теперь у нас есть равенство, которое можно упростить. Выразим его следующим образом:

\(
a — bi — a — bi = 0
\)

Сократим \(a\):

\(
-bi — bi = 0
\)

Сложим мнимые части:

\(
-2bi = 0
\)

Теперь, чтобы это равенство было верным, необходимо, чтобы:

\(
2b = 0
\)

Следовательно, мы получаем:

\(
b = 0
\)

Таким образом, если \(b = 0\), то \(z\) становится действительным числом, так как:

\(
z = a + 0i = a
\)

Таким образом, мы доказали, что равенство \(\overline{z} = z\) справедливо только тогда, когда \(z\) является действительным числом. Что и требовалось доказать.