ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите значение выражений:}
\)
1) \( i^{54} \);
2) \( i^{4n} \);
3) \( i^{4n+1}, \quad n \in \mathbb{N}. \)

1) \(i^{54} = (i^2)^{27} = (-1)^{27} = -1;\)
Ответ: \(-1.\)

2) \(i^{4n} = (i^2)^{2n} = (-1)^{2n} = 1;\)
Ответ: \(1.\)

3) \(i^{4n+1} = i^{4n} \cdot i = (i^2)^{2n} \cdot i = i;\)
Ответ: \(i.\)

1) Рассмотрим выражение \(i^{54}\). Мы можем разложить его следующим образом:

\(
i^{54} = (i^2)^{27}
\)

Так как \(i^2 = -1\), подставим это значение:

\(
(i^2)^{27} = (-1)^{27}
\)

Поскольку \(27\) — нечетное число, мы знаем, что \((-1)^{27} = -1\). Таким образом, результат равен:

\(
i^{54} = -1
\)

Ответ: \(-1\).

2) Рассмотрим выражение \(i^{4n}\). Мы можем разложить его следующим образом:

\(
i^{4n} = (i^2)^{2n}
\)

Так как \(i^2 = -1\), подставим это значение:

\(
(i^2)^{2n} = (-1)^{2n}
\)

Поскольку \(2n\) — четное число, мы знаем, что \((-1)^{2n} = 1\). Таким образом, результат равен:

\(
i^{4n} = 1
\)

Ответ: \(1\).

3) Рассмотрим выражение \(i^{4n+1}\). Мы можем разложить его следующим образом:

\(
i^{4n+1} = i^{4n} \cdot i
\)

Теперь заметим, что \(i^{4n}\) можно переписать как:

\(
i^{4n} = (i^2)^{2n}
\)

Подставим значение:

\(
(i^2)^{2n} \cdot i = (-1)^{2n} \cdot i
\)

Так как \(2n\) — четное число, мы знаем, что \((-1)^{2n} = 1\). Таким образом, получаем:

\(
i^{4n+1} = 1 \cdot i = i
\)

Ответ: \(i\).