ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Упростите выражение:}
\)

1. \((2+i)(1-i)+i(4-5i);\)

2. \((\sqrt{5}+2i)(\sqrt{5}-2i)+(1-i)^2;\)

3. \((1+i)^4;\)

4. \(\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^3.\)

1) \(i^{54} = (i^2)^{27} = (-1)^{27} = -1;\)
Ответ: \(-1.\)

2) \(i^{4n} = (i^2)^{2n} = (-1)^{2n} = 1;\)
Ответ: \(1.\)

3) \(i^{4n+1} = i^{4n} \cdot i = (i^2)^{2n} \cdot i = i;\)
Ответ: \(i.\)

1) Рассмотрим выражение \((2 + i)(1 — i) + i(4 — 5i)\). Начнём с вычисления первого произведения:

\(
(2 + i)(1 — i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-i) + i \cdot 1 + i \cdot (-i)
\)

Подставим значения:

\(
= 2 — 2i + i — i^2
\)

Поскольку \(i^2 = -1\), мы можем заменить \( -i^2 \) на \(+1\):

\(
= 2 — 2i + i + 1 = 3 — i
\)

Теперь вычислим второе произведение \(i(4 — 5i)\):

\(
i(4 — 5i) = 4i — 5i^2
\)

Заменим \(i^2\):

\(
= 4i + 5 = 5 + 4i
\)

Теперь сложим оба результата:

\(
(3 — i) + (5 + 4i) = (3 + 5) + (-i + 4i) = 8 + 3i
\)

Таким образом, результат равен:

\(
8 + 3i
\)

Ответ: \(8 + 3i\).

2) Рассмотрим выражение \((\sqrt{5} + 2i)(\sqrt{5} — 2i) + (1 — i)^2\). Начнём с вычисления первого произведения:

\(
(\sqrt{5} + 2i)(\sqrt{5} — 2i) = (\sqrt{5})^2 — (2i)^2
\)

Подставим значения:

\(
= 5 — 4(-1) = 5 + 4 = 9
\)

Теперь вычислим второе выражение \((1 — i)^2\):

\(
(1 — i)^2 = 1^2 — 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 — 2i — 1 = -2i
\)

Теперь сложим оба результата:

\(
9 + (-2i) = 9 — 2i
\)

Таким образом, результат равен:

\(
9 — 2i
\)

Ответ: \(9 — 2i\).

3) Рассмотрим выражение \((1 + i)^4\). Сначала вычислим \((1 + i)^2\):

\(
(1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i — 1 = 2i
\)

Теперь возведём в квадрат:

\(
(2i)^2 = 4i^2 = 4(-1) = -4
\)

Таким образом, результат равен:

\(
-4
\)

Ответ: \(-4\).

4) Рассмотрим выражение \(\left(-\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^3\). Используем формулу бинома Ньютона для куба:

\(
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
\)

Где \(a = -\frac{1}{2}\) и \(b = -\frac{\sqrt{3}}{2} i\):

\(
= \left(-\frac{1}{2}\right)^3 + 3 \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} i\right) + 3 \left(-\frac{1}{2}\right) \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^3
\)

Подставим значения:

\(
= -\frac{1}{8} + 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} i\right) + 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 i^3
\)

Упрощаем:

\(
= -\frac{1}{8} — \frac{3\sqrt{3}}{8} i + \frac{9}{8} — \frac{3\sqrt{3}}{8} i
\)

Теперь соберём все части вместе:

\(
= \left(-\frac{1}{8} + \frac{9}{8}\right) + \left(- \frac{3\sqrt{3}}{8} i — \frac{3\sqrt{3}}{8} i \right)
= \frac{8}{8} + 0i = 1
\)

Таким образом, результат равен:

\(
1
\)

Ответ: \(1\).