ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) Найдите все такие комплексные числа \( z \), что:
\(
z^2 = i
\)

2) Найдите все такие комплексные числа \( z \), что:
\(
z^2 = -5 + 12i
\)

1) \(z^2 = i\);

\((a + bi)^2 = i;\)
\(a^2 + 2abi — b^2 = i;\)
\((a^2 — b^2) + 2abi = i;\)

Приравниваем действительную и мнимую части:
\(a^2 — b^2 = 0;\)
\(2ab = 1;\)

Из первого уравнения:
\((a + b)(a — b) = 0;\)
Значит, либо \(a = b\), либо \(a = -b\).

Подставляя во второе уравнение:
Если \(a = b\), то \(2a \cdot a = 1 \Rightarrow 2a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{2};\)
Если \(a = -b\), то \(2a(-a) = 1 \Rightarrow -2a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = -\frac{1}{2}\) (не подходит, так как \(a^2\) — действительное число).

Таким образом:
\(a^2 = \frac{1}{2};\)
\(a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}};\)
\(b = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\) (с тем же знаком, что и \(a\)).

Ответ:
\(
z = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i \quad \text{или} \quad z = -\frac{1}{\sqrt{2}} — \frac{1}{\sqrt{2}} i
\)

2) \(z^2 = -5 + 12i\);

\((a + bi)^2 = -5 + 12i;\)
\(a^2 + 2abi — b^2 = -5 + 12i;\)
\((a^2 — b^2) + 2abi = -5 + 12i;\)

Приравниваем действительную и мнимую части:
\(2ab = 12,\quad b = \frac{6}{a};\)
\(a^2 — b^2 = -5;\)

Подставляем \(b = \frac{6}{a}\) во второе уравнение:
\(
a^2 — \left(\frac{6}{a}\right)^2 = -5 — a^2 — \frac{36}{a^2} = -5
\)

Умножаем на \(a^2\):
\(
a^4 + 5a^2 — 36 = 0
\)

Решаем квадратное уравнение относительно \(a^2\):
\(
D = 5^2 + 4 \cdot 36 = 25 + 144 = 169
\)

Корни:
\(
a^2_1 = \frac{-5 — 13}{2} = -9 \quad (\text{отрицательно, не подходит}), \quad a^2_2 = \frac{-5 + 13}{2} = 4
\)

Следовательно:
\(
a = \pm 2, \quad b = \frac{6}{a} = \pm 3
\)

Ответ:

\(
z = -2 — 3i, \quad z = 2 + 3i
\)

1) Выражение:

\(
(4 — i)i + (7 — 2i)(3 + i)
\)

Раскроем скобки:

\(
(4 — i)i = 4i — i^2
\)

Поскольку \(i^2 = -1\), то

\(
4i — (-1) = 4i + 1
\)

Теперь вычислим второе произведение:

\(
(7 — 2i)(3 + i) = 7 \cdot 3 + 7 \cdot i — 2i \cdot 3 — 2i \cdot i = 21 + 7i — 6i — 2i^2
\)

Опять заменяем \(i^2 = -1\):

\(
21 + 7i — 6i — 2(-1) = 21 + (7i — 6i) + 2 = 21 + i + 2 = 23 + i
\)

Теперь складываем обе части:

\(
(4i + 1) + (23 + i) = (1 + 23) + (4i + i) = 24 + 5i
\)

Ответ:

\(
24 + 5i
\)

2) Выражение:

\(
(1 — \sqrt{2}i)(1 + \sqrt{2}i) + (1 + i)^2
\)

Сначала умножим первые скобки. Это произведение комплексно-сопряжённых чисел:

\(
(1 — \sqrt{2}i)(1 + \sqrt{2}i) = 1^2 — (\sqrt{2}i)^2 = 1 — 2i^2
\)

Заменяем \(i^2 = -1\):

\(
1 — 2(-1) = 1 + 2 = 3
\)

Теперь возведём во вторую степень:

\(
(1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i — 1 = 2i
\)

Складываем результаты:

\(
3 + 2i
\)

Ответ:

\(
3 + 2i
\)

3) Выражение:

\(
(1 — i)^4
\)

Для удобства сначала вычислим \((1 — i)^2\):

\(
(1 — i)^2 = 1^2 — 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 — 2i — 1 = -2i
\)

Теперь возводим в квадрат:

\(
(-2i)^2 = (-2)^2 \cdot i^2 = 4 \cdot (-1) = -4
\)

Ответ:

\(
-4
\)

4) Выражение:

\(
\left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^3
\)

Обозначим:

\(
a = -\frac{1}{2}, \quad b = \frac{\sqrt{3}}{2} i
\)

Используем формулу куба суммы:

\(
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3
\)

Вычислим каждую часть:

1. \(a^3 = \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8}\)

2. \(3a^2 b = 3 \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} i = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} i = \frac{3\sqrt{3}}{8} i\)

3. \(3ab^2 = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^2\)

Сначала найдём \(b^2\):

\(
\left(\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot i^2 = \frac{3}{4} \cdot (-1) = -\frac{3}{4}
\)

Теперь:

\(
3ab^2 = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = 3 \cdot \frac{3}{8} = \frac{9}{8}
\)

4. \(b^3 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^3 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 \cdot i^3\)

Вычислим \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3\):

\(
\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 = \frac{(\sqrt{3})^3}{2^3} = \frac{3\sqrt{3}}{8}
\)

Поскольку \(i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i\), то

\(
b^3 = \frac{3\sqrt{3}}{8} \cdot (-i) = -\frac{3\sqrt{3}}{8} i
\)

Теперь сложим все части:

\(
-\frac{1}{8} + \frac{3\sqrt{3}}{8} i + \frac{9}{8} — \frac{3\sqrt{3}}{8} i = \left(-\frac{1}{8} + \frac{9}{8}\right) + \left(\frac{3\sqrt{3}}{8} i — \frac{3\sqrt{3}}{8} i\right) = \frac{8}{8} + 0 = 1
\)

Ответ:

\(
1
\)