ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите все такие комплексные числа \( z \), что:

1) \( z^2 = -i \);
2) \( z^2 = 15 — 8i \).

Найти все комплексные числа \(z\):

1) \(z^2 = -i;\)
\((a + bi)^2 = -i;\)
\(a^2 + 2abi — b^2 = -i;\)
\((a^2 — b^2) + 2abi = -i;\)

Приравниваем действительную и мнимую части:
\(
a^2 — b^2 = 0;
\)
\(
2ab = -1;
\)

Из первого уравнения:
\(
(a + b)(a — b) = 0;
\)
Значит, либо \(a = -b\), либо \(a = b\).

Подставляя во второе уравнение:
\(
2ab = -1;
\)

Если \(a = -b\), то
\(
2a(-a) = -1 — -2a^2 = -1- 2a^2 = 1 — a^2 = \frac{1}{2};
\)

Если \(a = b\), то
\(
2a \cdot a = -1 — 2a^2 = -1 — a^2 = -\frac{1}{2};
\)
что невозможно для действительного \(a\).

Таким образом:
\(
a^2 = \frac{1}{2}, \quad b = -a;
\)
\(
a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad b = \mp \frac{1}{\sqrt{2}}.
\)

Ответ:
\(
z = \frac{1}{\sqrt{2}} — \frac{1}{\sqrt{2}} i \quad \text{или} \quad z = -\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i.
\)

2) \(z^2 = 15 — 8i;\)
\((a + bi)^2 = 15 — 8i;\)
\(a^2 + 2abi — b^2 = 15 — 8i;\)
\((a^2 — b^2) + 2abi = 15 — 8i;\)

Приравниваем действительную и мнимую части:
\(
2ab = -8, \quad b = -\frac{4}{a};
\)
\(
a^2 — b^2 = 15;
\)

Подставляем \(b = -\frac{4}{a}\) во второе уравнение:
\(
a^2 — \frac{16}{a^2} = 15;
\)

Умножаем на \(a^2\):
\(
a^4 — 15a^2 — 16 = 0;
\)

Вычисляем дискриминант:
\(
D = 15^2 + 4 \cdot 16 = 225 + 64 = 289,
\)

Тогда корни уравнения:
\(
a_1^2 = \frac{15 — 17}{2} = -1 \quad (\text{не подходит, т.к. } a \in \mathbb{R}),
\)
\(
a_2^2 = \frac{15 + 17}{2} = 16;
\)

Следовательно:
\(
a = \pm 4,
\)
\(
b = -\frac{4}{a} = \mp 1;
\)

Ответ:
\(
z = -4 + i, \quad z = 4 — i.
\)

Найти все комплексные числа \(z\):

1) Рассмотрим уравнение \(z^2 = -i\). Записываем его в виде:

\(
(a + bi)^2 = -i
\)

Раскрываем скобки:

\(
a^2 + 2abi — b^2 = -i
\)

Теперь приводим к стандартному виду:

\(
(a^2 — b^2) + 2abi = 0 — i
\)

Приравниваем действительную и мнимую части:

\(
a^2 — b^2 = 0
\)
\(
2ab = -1
\)

Из первого уравнения \(a^2 — b^2 = 0\) получаем:

\(
(a + b)(a — b) = 0
\)

Это означает, что либо \(a = -b\), либо \(a = b\).

Теперь подставим эти значения во второе уравнение \(2ab = -1\).

1. Если \(a = -b\):

Подставляем:

\(
2a(-a) = -1 — -2a^2 = -1 — 2a^2 = 1 — a^2 = \frac{1}{2}
\)

Таким образом, получаем:

\(
a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}
\)

И тогда:

\(
b = -a — b = \mp \frac{1}{\sqrt{2}}
\)

Итак, возможные решения для \(z\):

\(
z = \frac{1}{\sqrt{2}} — \frac{1}{\sqrt{2}} i \quad \text{или} \quad z = -\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i
\)

2) Рассмотрим второе уравнение \(z^2 = 15 — 8i\). Записываем его в виде:

\(
(a + bi)^2 = 15 — 8i
\)

Раскрываем скобки:

\(
a^2 + 2abi — b^2 = 15 — 8i
\)

Приводим к стандартному виду:

\(
(a^2 — b^2) + 2abi = 15 — 8i
\)

Приравниваем действительную и мнимую части:

\(
a^2 — b^2 = 15
\)
\(
2ab = -8
\)

Из второго уравнения можно выразить \(b\):

\(
b = -\frac{4}{a}
\)

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

\(
a^2 — \left(-\frac{4}{a}\right)^2 = 15
\)

Это преобразуется в:

\(
a^2 — \frac{16}{a^2} = 15
\)

Умножаем на \(a^2\) для устранения дроби:

\(
a^4 — 15a^2 — 16 = 0
\)

Теперь вычисляем дискриминант \(D\):

\(
D = (-15)^2 + 4 \cdot 16 = 225 + 64 = 289
\)

Корни уравнения находятся по формуле:

\(
a_{1,2}^2 = \frac{15 \pm \sqrt{D}}{2}
\)

Вычисляем корни:

Для \(a_1^2\):

\(
a_1^2 = \frac{15 — 17}{2} = -1 \quad (\text{не подходит, т.к. } a \in \mathbb{R})
\)

Для \(a_2^2\):

\(
a_2^2 = \frac{15 + 17}{2} = 16
\)

Следовательно, получаем:

\(
a = \pm 4
\)

Теперь подставляем значение \(a\) в выражение для \(b\):

\(
b = -\frac{4}{a} = \mp 1
\)

Таким образом, возможные значения для \(z\):

\(
z = -4 + i, \quad z = 4 — i
\)