ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите: } \frac{3}{-i}, \quad \frac{5i}{3+2i}, \quad \frac{7+i}{2+i}, \quad \frac{4-5i}{4+5i}.
\)

1)
\(
\frac{3}{-i} = \frac{3i}{-i^2} = \frac{3i}{-(-1)} = 3i;
\)
Ответ: \(3i\).

2)
\(
\frac{5i}{3 + 2i} = \frac{5i(3 — 2i)}{9 — 4i^2} = \frac{15i — 10i^2}{9 + 4} = \frac{10}{13} + \frac{15}{13} i;
\)
Ответ: \(\frac{10}{13} + \frac{15}{13} i\).

3)
\(
\frac{7 + i}{2 + i} = \frac{(7 + i)(2 — i)}{4 — i^2} = \frac{14 — 7i + 2i — i^2}{4 + 1} = \frac{14 — 5i + 1}{5} = \frac{15 — 5i}{5} = 3 — i;
\)
Ответ: \(3 — i\).

4)
\(
\frac{4 — 5i}{4 + 5i} = \frac{(4 — 5i)(4 — 5i)}{16 — 25i^2} = \frac{16 — 20i — 20i + 25i^2}{16 + 25} = \frac{16 — 40i — 25}{41} = \frac{-9 — 40i}{41} = -\frac{9}{41} — \frac{40}{41} i;
\)
Ответ: \(-\frac{9}{41} — \frac{40}{41} i\).

1)
\(
\frac{3}{-i} = \frac{3i}{-i^2} = \frac{3i}{-(-1)} = 3i;
\)
Ответ: \(3i\).

В этом примере мы делим число \(3\) на \(-i\). Для того чтобы избавиться от мнимого числа в знаменателе, мы умножаем числитель и знаменатель на \(i\):
\(
\frac{3}{-i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{3i}{-i^2}.
\)
Так как \(i^2 = -1\), то \(-i^2 = 1\):
\(
\frac{3i}{-(-1)} = 3i.
\)

2)
\(
\frac{5i}{3 + 2i} = \frac{5i(3 — 2i)}{9 — 4i^2} = \frac{15i — 10i^2}{9 + 4} = \frac{10}{13} + \frac{15}{13} i;
\)
Ответ: \(\frac{10}{13} + \frac{15}{13} i\).

Здесь мы делим \(5i\) на \(3 + 2i\). Чтобы избавиться от мнимой части в знаменателе, мы умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое число \(3 — 2i\):
\(
\frac{5i(3 — 2i)}{(3 + 2i)(3 — 2i)} = \frac{5i(3 — 2i)}{9 — 4i^2}.
\)
Поскольку \(i^2 = -1\), то \(9 — 4(-1) = 9 + 4 = 13\):
\(
= \frac{15i — 10(-1)}{13} = \frac{15i + 10}{13} = \frac{10}{13} + \frac{15}{13} i.
\)

3)
\(
\frac{7 + i}{2 + i} = \frac{(7 + i)(2 — i)}{4 — i^2} = \frac{14 — 7i + 2i — i^2}{4 + 1} = \frac{14 — 5i + 1}{5} = \frac{15 — 5i}{5} = 3 — i;
\)
Ответ: \(3 — i\).

В этом случае мы делим \(7 + i\) на \(2 + i\). Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое число \(2 — i\):
\(
\frac{(7 + i)(2 — i)}{(2 + i)(2 — i)} = \frac{(7 + i)(2 — i)}{4 — i^2}.
\)
Опять же, \(4 — (-1) = 4 + 1 = 5\):
\(
= \frac{14 — 7i + 2i — (-1)}{5} = \frac{14 — 5i + 1}{5} = \frac{15 — 5i}{5}.
\)
Разделив каждый член на \(5\), получаем:
\(
= 3 — i.
\)

4)
\(
\frac{4 — 5i}{4 + 5i} = \frac{(4 — 5i)(4 — 5i)}{16 — 25i^2} = \frac{16 — 20i — 20i + 25i^2}{16 + 25} = \frac{16 — 40i — 25}{41} = \frac{-9 — 40i}{41} = -\frac{9}{41} — \frac{40}{41} i;
\)
Ответ: \(-\frac{9}{41} — \frac{40}{41} i\).

В последнем примере мы делим \(4 — 5i\) на \(4 + 5i\). Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое число \(4 — 5i\):
\(
\frac{(4 — 5i)(4 — 5i)}{(4 + 5i)(4 — 5i)}.
\)
В знаменателе:
\(
(4 + 5i)(4 — 5i) = 16 — (25)(-1) = 16 + 25 = 41.
\)
В числителе:
\(
(4 — 5i)(4 — 5i) = 16 — 20i — 20i + 25(-1) = 16 — 40i — 25 = -9 — 40i.
\)
Таким образом, получаем:
\(
= \frac{-9 — 40i}{41} = -\frac{9}{41} — \frac{40}{41} i.
\)