ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.29 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \( iz = 2 + i \)

2) \( (4 — i)z = 3 + i \)

3) \( \frac{i}{z + i} = \frac{4 — i}{iz — 1} \)

1)
\(
iz = 2 + i;
\)
\(
z = \frac{2 + i}{i} = \frac{i(2 + i)}{i^2};
\)
\(
z = \frac{2i + i^2}{-1} = 1 — 2i;
\)
Ответ: \(1 — 2i\).

2)
\(
(4 — i)z = 3 + i;
\)
\(
z = \frac{3 + i}{4 — i} = \frac{(3 + i)(4 + i)}{16 — i^2};
\)
\(
z = \frac{12 + 3i + 4i + i^2}{16 + 1} = \frac{11 + 7i}{17};
\)
Ответ: \(\frac{11}{17} + \frac{7}{17} i\).

3)
\(
\frac{i}{z + i} = \frac{4 — i}{iz — 1};
\)
\(
i(iz — 1) = (4 — i)(z + i);
\)
\(
i^2 z — i = 4z + 4i — iz — i^2;
\)
\(
-z — i = 4z + 4i — iz + 1;
\)
\(
5z — iz = -1 — 5i;
\)
\(
z(5 — i) = -1 — 5i;
\)
\(
z = \frac{-1 — 5i}{5 — i} = \frac{1 + 5i}{i — 5} = \frac{(1 + 5i)(i + 5)}{i^2 — 25};
\)
\(
z = \frac{i + 5 + 5i^2 + 25i}{-1 — 25} = \frac{26i + 5 — 5}{-26} = -i;
\)
Ответ: \(-i\).

1)
\(
iz = 2 + i;
\)
Для нахождения \(z\) делим обе стороны уравнения на \(i\):
\(
z = \frac{2 + i}{i} = \frac{i(2 + i)}{i^2};
\)
Теперь подставим \(i^2 = -1\):
\(
z = \frac{2i + i^2}{-1} = \frac{2i — 1}{-1} = 1 — 2i;
\)
Ответ: \(1 — 2i\).

2)
\(
(4 — i)z = 3 + i;
\)
Чтобы найти \(z\), делим обе стороны на \(4 — i\):
\(
z = \frac{3 + i}{4 — i} = \frac{(3 + i)(4 + i)}{(4 — i)(4 + i)}.
\)
В знаменателе используем формулу разности квадратов:
\(
(4 — i)(4 + i) = 16 — (-1) = 16 + 1 = 17.
\)
Теперь считаем числитель:
\(
z = \frac{12 + 3i + 4i + i^2}{17} = \frac{12 + 7i — 1}{17} = \frac{11 + 7i}{17};
\)
Ответ: \(\frac{11}{17} + \frac{7}{17} i\).

3)
\(
\frac{i}{z + i} = \frac{4 — i}{iz — 1};
\)
Умножим обе стороны на \((z + i)(iz — 1)\):
\(
i(iz — 1) = (4 — i)(z + i);
\)
Раскроем скобки:
\(
i^2 z — i = 4z + 4i — iz — i^2;
\)
Подставим \(i^2 = -1\):
\(
-z — i = 4z + 4i + z + 1;
\)
Соберем все слагаемые с \(z\) в одну сторону:
\(
-z — 4z — z = 1 + 5i;
\)
Это даёт:
\(
-6z = 1 + 5i \quad \Rightarrow \quad z(5 — i) = -1 — 5i;
\)
Теперь делим обе стороны на \(5 — i\):
\(
z = \frac{-1 — 5i}{5 — i}.
\)
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное число \(5 + i\):
\(
z = \frac{(-1 — 5i)(5 + i)}{(5 — i)(5 + i)}.
\)
В знаменателе:
\(
(5 — i)(5 + i) = 25 + 1 = 26.
\)
В числителе:
\(
(-1)(5) + (-1)(i) + (-5i)(5) + (-5i)(i) = -5 — i — 25i + 5 = -5 — 26i.
\)
Теперь подставляем:
\(
z = \frac{-5 — 26i}{26} = \frac{5}{26} + \frac{26}{26}(-i).
\)
Таким образом, получаем:
\(
z = -i.
\)
Ответ: \(-i\).