ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.30 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\begin{align*}
1) & \quad -iz = 7 — 3i; \\
2) & \quad (4 + 3i)z = 4 — 3i; \\
3) & \quad \frac{3i — z}{i — z} = 2iz + 1.
\end{align*}
\)

1)
\(
-iz = 7 — 3i;
\)
\(
z = \frac{3i — 7}{i} = \frac{i(3i — 7)}{i^2};
\)
\(
z = \frac{3i^2 — 7i}{-1} = 3 + 7i;
\)
Ответ: \(3 + 7i\).

2)
\(
(4 + 3i)z = 4 — 3i;
\)
\(
z = \frac{4 — 3i}{4 + 3i} = \frac{(4 — 3i)(4 — 3i)}{16 — 9i^2};
\)
\(
z = \frac{16 — 24i + 9i^2}{16 + 9} = \frac{7 — 24i}{25};
\)
Ответ: \(\frac{7}{25} — \frac{24}{25} i\).

3)
\(
\frac{3i — z}{i — 1} = 2iz + 1;
\)
\(
3i — z = (2iz + 1)(i — 1);
\)
\(
3i — z = 2zi^2 — 2iz + i — 1;
\)
\(
3i — z = -2z — 2iz + i — 1;
\)
\(
z + 2iz = -2i — 1;
\)
\(
z(1 + 2i) = -2i — 1;
\)
\(
z = \frac{-2i — 1}{1 + 2i} = \frac{1 + 2i}{1 + 2i} \times (-1) = -1;
\)
Ответ: \(-1\).

1)
\(
-iz = 7 — 3i;
\)
Для нахождения \(z\) делим обе стороны уравнения на \(-i\):
\(
z = \frac{7 — 3i}{-i} = \frac{3i — 7}{i} = \frac{i(3i — 7)}{i^2};
\)
Теперь подставим \(i^2 = -1\):
\(
z = \frac{3i^2 — 7i}{-1} = \frac{3(-1) — 7i}{-1} = \frac{-3 — 7i}{-1} = 3 + 7i;
\)
Ответ: \(3 + 7i\).

2)
\(
(4 + 3i)z = 4 — 3i;
\)
Чтобы найти \(z\), делим обе стороны на \(4 + 3i\):
\(
z = \frac{4 — 3i}{4 + 3i} = \frac{(4 — 3i)(4 — 3i)}{(4 + 3i)(4 — 3i)}.
\)
В знаменателе используем формулу разности квадратов:
\(
(4 + 3i)(4 — 3i) = 16 — (3i)^2 = 16 — 9(-1) = 16 + 9 = 25.
\)
Теперь считаем числитель:
\(
z = \frac{16 — 24i + 9i^2}{25} = \frac{16 — 24i + 9(-1)}{25} = \frac{16 — 9 — 24i}{25} = \frac{7 — 24i}{25};
\)
Ответ: \(\frac{7}{25} — \frac{24}{25} i\).

3)
\(
\frac{3i — z}{i — 1} = 2iz + 1;
\)
Умножим обе стороны на \((i — 1)\):
\(
3i — z = (2iz + 1)(i — 1);
\)
Раскроем скобки:
\(
3i — z = 2zi^2 — 2iz + i — 1;
\)
Подставим \(i^2 = -1\):
\(
3i — z = -2z — 2iz + i — 1;
\)
Переносим все \(z\)-члены влево:
\(
z + 2iz = -2i — 1;
\)
Факторизуем \(z\):
\(
z(1 + 2i) = -2i — 1;
\)
Теперь делим обе стороны на \(1 + 2i\):
\(
z = \frac{-2i — 1}{1 + 2i}.
\)
Чтобы упростить выражение, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое число:
\(
z = \frac{(-2i — 1)(1 — 2i)}{(1 + 2i)(1 — 2i)}.
\)
В знаменателе:
\(
(1 + 2i)(1 — 2i) = 1 — (2i)^2 = 1 + 4 = 5.
\)
В числителе:
\(
(-2i)(1) + (-2i)(-2i) + (-1)(1) + (-1)(-2i) = -2i + 4 + 1 + 2i = 5.
\)
Таким образом, получаем:
\(
z = \frac{5}{5} \times (-1) = -1.
\)
Ответ: \(-1\).