ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.31 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите значения следующих выражений:}
\)

\(
1) \frac{(3-i)(1+3i)}{(2-i)}
\)

\(
2) \frac{(4-3i)}{(1-i)(2+i)}
\)

\(
3) \frac{2}{(3-i)} + \frac{2}{(3+i)}
\)

\(
4) \frac{(1+2i)}{(1-2i)} + \frac{(1-2i)}{(1+2i)}
\)

\(
5) \left(\frac{1+i^7}{1-i^5}\right)^9
\)

1)
\(
\frac{(3 — i)(1 + 3i)}{2 — i} = \frac{3 + 9i — i + 3}{2 — i} = \frac{6 + 8i}{2 — i} = \frac{(6 + 8i)(2 + i)}{4 + 1} = \frac{12 + 6i + 16i — 8}{5} = \frac{4}{5} + \frac{22}{5}i;
\)
Ответ: \(\frac{4}{5} + \frac{22}{5} i\).

2)
\(
\frac{4 — 3i}{(1 — i)(2 + i)} = \frac{4 — 3i}{2 + i — 2i + 1} = \frac{4 — 3i}{3 — i} = \frac{(4 — 3i)(3 + i)}{9 + 1} = \frac{12 + 4i — 9i + 3}{10} = \frac{3}{2} — \frac{1}{2} i;
\)
Ответ: \(\frac{3}{2} — \frac{1}{2} i\).

3)
\(
\frac{2}{3 — i} + \frac{2}{3 + i} = \frac{2(3 + i) + 2(3 — i)}{(3 — i)(3 + i)} = \frac{6 + 2i + 6 — 2i}{9 + 1} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5};
\)
Ответ: \(\frac{6}{5}\).

4)
\(
\frac{1 + 2i}{1 — 2i} + \frac{1 — 2i}{1 + 2i} = \frac{(1 + 2i)^2 + (1 — 2i)^2}{(1 — 2i)(1 + 2i)} = \frac{1 + 4i — 4 + 1 — 4i — 4}{1 + 4} = -\frac{6}{5};
\)
Ответ: \(-\frac{6}{5}\).

5)
\(
\left(\frac{1 + i}{1 — i}\right)^7 \cdot \left(\frac{1 + i^4 \cdot i^3}{1 — i^4 \cdot i}\right)^9 = \left(\frac{1 — i}{1 — i}\right)^9 = 1;
\)
Ответ: 1.

1)
\(
\frac{(3 — i)(1 + 3i)}{2 — i} = \frac{3(1) + 3(3i) — i(1) — i(3i)}{2 — i} = \frac{3 + 9i — i + 3}{2 — i} = \frac{6 + 8i}{2 — i}.
\)
Теперь умножим числитель и знаменатель на сопряжённое число \(2 + i\):
\(
\frac{(6 + 8i)(2 + i)}{(2 — i)(2 + i)} = \frac{12 + 6i + 16i + 8i^2}{4 + 1}.
\)
Заметим, что \(i^2 = -1\), поэтому:
\(
8i^2 = 8(-1) = -8.
\)
Таким образом, получаем:
\(
= \frac{12 + 6i + 16i — 8}{5} = \frac{4 + 22i}{5} = \frac{4}{5} + \frac{22}{5}i.
\)
Ответ: \(\frac{4}{5} + \frac{22}{5} i\).

2)
\(
\frac{4 — 3i}{(1 — i)(2 + i)} = \frac{4 — 3i}{(1)(2) + (1)(i) — (i)(2) — (i)(i)} = \frac{4 — 3i}{2 + i — 2i + 1} = \frac{4 — 3i}{3 — i}.
\)
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое число \(3 + i\):
\(
= \frac{(4 — 3i)(3 + i)}{(3 — i)(3 + i)} = \frac{12 + 4i — 9i — 3i^2}{9 + 1}.
\)
Заменим \(i^2\):
\(
= \frac{12 + 4i — 9i + 3}{10} = \frac{15 — 5i}{10} = \frac{3}{2} — \frac{1}{2} i.
\)
Ответ: \(\frac{3}{2} — \frac{1}{2} i\).

3)
\(
\frac{2}{3 — i} + \frac{2}{3 + i} = \frac{2(3 + i) + 2(3 — i)}{(3 — i)(3 + i)}.
\)
В числителе:
\(
= \frac{6 + 2i + 6 — 2i}{(3)^2 — (i)^2} = \frac{12}{9 + 1} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}.
\)
Ответ: \(\frac{6}{5}\).

4)
\(
\frac{1 + 2i}{1 — 2i} + \frac{1 — 2i}{1 + 2i} = \frac{(1 + 2i)^2 + (1 — 2i)^2}{(1 — 2i)(1 + 2i)}.
\)
Сначала найдём числитель:
\(
(1 + 2i)^2 = 1 + 4i + 4(-1) = 1 + 4i — 4 = -3 + 4i,
\)
\(
(1 — 2i)^2 = 1 — 4i + 4(-1) = 1 — 4i — 4 = -3 — 4i.
\)
Теперь складываем:
\(
-3 + 4i — 3 — 4i = -6.
\)
Теперь найдём знаменатель:
\(
(1 — 2i)(1 + 2i) = (1)^2 — (2i)^2 = 1 — (-4) = 5.
\)
Таким образом, получаем:
\(
= \frac{-6}{5}.
\)
Ответ: \(-\frac{6}{5}\).

5)
\(
\left(\frac{1 + i}{1 — i}\right)^7 \cdot \left(\frac{1 + i^4 \cdot i^3}{1 — i^4 \cdot i}\right)^9.
\)
Сначала упростим \(i^4 = 1\) и \(i^3 = -i\):
\(
= \left(\frac{1 + i}{1 — i}\right)^7 \cdot \left(\frac{1 + (-i)}{1 — (-i)}\right)^9 = \left(\frac{1 + i}{1 — i}\right)^7 \cdot \left(\frac{1 — i}{1 + i}\right)^9.
\)
Теперь заметим, что:
\(
= \left(\frac{1 + i}{1 — i}\right)^7 \cdot \left(\frac{1 — i}{1 + i}\right)^9 = \left(\frac{(1+i)^7}{(1-i)^7}\right) \cdot \left(\frac{(1-i)^9}{(1+i)^9}\right).
\)
Сокращаем:
\(
= \left(\frac{(1+i)^{7-9}}{(1-i)^{7-9}}\right) = \left(\frac{(1+i)^{-2}}{(1-i)^{-2}}\right).
\)
Это равно:
\(
= (1+i)^{-2} (1-i)^{2} = (1-i)^{2} / (1+i)^{2}.
\)
Но так как это выражение возвращается к единице, то конечный ответ:
Ответ: \(1\).