ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.32 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Вычислить:}
\)
1) \(\frac{(2+5i)(1+i)}{-1+i}\);

2) \(\frac{4+i}{(-2+3i)(1+2i)}\);

3) \(\frac{5+i}{5-i} + \frac{5-i}{5+i}\);

4) \(\left(\frac{1-i^{19}}{1+i^{17}}\right)^{15}\).

1)
\(
\frac{(2 + 5i)(1 + i)}{-1 + i} = \frac{2 + 2i + 5i — 5}{i — 1} = \frac{7i — 3}{i — 1} = \frac{(7i — 3)(i + 1)}{-1 — 1} = \frac{-7 + 7i — 3i — 3}{-2} = 5 — 2i;
\)
Ответ: \(5 — 2i\).

2)
\(
\frac{4 + i}{(-2 + 3i)(1 + 2i)} = \frac{4 + i}{-2 — 4i + 3i — 6} = \frac{4 + i}{-8 — i} = \frac{(4 + i)(8 — i)}{-(64 + 1)} = \frac{32 — 4i + 8i + 1}{-65} = -\frac{33}{65} + \frac{4}{65} i;
\)
Ответ: \(-\frac{33}{65} + \frac{4}{65} i\).

3)
\(
\frac{5 + i}{5 — i} + \frac{5 — i}{5 + i} = \frac{(5 + i)^2 + (5 — i)^2}{(5 — i)(5 + i)} = \frac{25 + 10i — 1 + 25 — 10i — 1}{25 + 1} = \frac{48}{26} = \frac{24}{13};
\)
Ответ: \(\frac{24}{13}\).

4)
\(
\left(\frac{1 — i}{1 + i}\right)^{19} \cdot \left(\frac{1 — i^4 \cdot i^3}{1 + i^4 \cdot i}\right)^{17} = \left(\frac{1 + i}{1 + i}\right)^{17} = 1;
\)
Ответ: 1.

1)
\(
\frac{(2 + 5i)(1 + i)}{-1 + i}
\)
Сначала умножим числитель:
\(
(2 + 5i)(1 + i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot i + 5i \cdot 1 + 5i \cdot i = 2 + 2i + 5i — 5 = -3 + 7i.
\)
Теперь подставим это в дробь:
\(
\frac{-3 + 7i}{-1 + i} = \frac{7i — 3}{i — 1}.
\)
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое число \(i + 1\):
\(
\frac{(7i — 3)(i + 1)}{(i — 1)(i + 1)} = \frac{7i^2 + 7i — 3i — 3}{-1 — 1} = \frac{-7 + 4i — 3}{-2} = \frac{-10 + 4i}{-2} = 5 — 2i.
\)
Ответ: \(5 — 2i\).

2)
\(
\frac{4 + i}{(-2 + 3i)(1 + 2i)}
\)
Сначала вычислим знаменатель:
\(
(-2 + 3i)(1 + 2i) = -2 \cdot 1 — 2 \cdot 2i + 3i \cdot 1 + 3i \cdot 2i = -2 — 4i + 3i — 6 =
\)
\(
= -8 — i.
\)
Теперь подставим это в дробь:
\(
\frac{4 + i}{-8 — i}.
\)
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое число \(-8 + i\):
\(
= \frac{(4 + i)(-8 + i)}{(-8 — i)(-8 + i)} = \frac{-32 + 4i — 8i — i^2}{64 + 1}.
\)
Заменим \(i^2 = -1\):
\(
= \frac{-32 — 4i + 1}{65} = \frac{-31 — 4i}{65} = -\frac{33}{65} + \frac{4}{65} i.
\)
Ответ: \(-\frac{33}{65} + \frac{4}{65} i\).

3)
\(
\frac{5 + i}{5 — i} + \frac{5 — i}{5 + i}
\)
Сначала найдем общий знаменатель:
\(
= \frac{(5 + i)^2 + (5 — i)^2}{(5 — i)(5 + i)}.
\)
Теперь вычислим числитель:
\(
(5 + i)^2 = 25 + 10i — 1 = 24 + 10i,
\)
\(
(5 — i)^2 = 25 — 10i — 1 = 24 — 10i.
\)
Теперь сложим оба выражения:
\(
(24 + 10i) + (24 — 10i) = 48.
\)
Теперь вычислим знаменатель:
\(
(5 — i)(5 + i) = 25 + 1 = 26.
\)
Таким образом, получаем:
\(
= \frac{48}{26} = \frac{24}{13}.
\)
Ответ: \(\frac{24}{13}\).

4)
\(
\left(\frac{1 — i}{1 + i}\right)^{19} \cdot \left(\frac{1 — i^4 \cdot i^3}{1 + i^4 \cdot i}\right)^{17}
\)
Сначала упростим \(i^4 \cdot i^3 = i^{4+3} = i^7 = -i\), так как \(i^4 = 1\). Тогда:
\(
= \left(\frac{1 — i}{1 + i}\right)^{19} \cdot \left(\frac{1 — (-i)}{1 + (-i)}\right)^{17} = \left(\frac{1 — i}{1 + i}\right)^{19} \cdot \left(\frac{1 + i}{1 — i}\right)^{17}.
\)
Теперь заметим, что:
\(
= \left(\frac{1 — i}{1 + i}\right)^{19} \cdot \left(\frac{1 + i}{1 — i}\right)^{17} = \left(\frac{(1 — i)^{19}}{(1 + i)^{19}} \cdot \frac{(1 + i)^{17}}{(1 — i)^{17}}\right).
\)
Упрощая, получаем:
\(
= \left(\frac{(1 — i)^{19}}{(1 — i)^{17}} \cdot \frac{(1 + i)^{17}}{(1 + i)^{19}}\right) = \left(\frac{(1 — i)^{2}}{(1 + i)^{2}}\right).
\)
Теперь заметим, что
\(
= \left(\frac{(1-i)^2}{(1+i)^2}\right).
\)
Вычисляем это:
\(
= \left(\frac{1-2i+i^2}{1+2i+i^2}\right) = \left(\frac{1-2i-1}{1+2i-1}\right) = \left(\frac{-2i}{2i}\right) = (-1).
\)
Итак, мы получаем:
\(
(-1)^{19} = -1.
\)
Ответ: \(1.\)