ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.33 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Дано: \( z_1 = 1 + i \), \( z_2 = 3 — 2i \). Вычислите:

1) \( \frac{z_1}{z_2} \);
2) \( \frac{z_1}{z_1 + z_2} \);
3) \( \frac{z_1 — z_2}{z_2} \).

Найти значение выражения:
\( z_1 = 1 + i, \quad z_2 = 3 — 2i; \)

1)
\(
\frac{\overline{z_1}}{z_2} = \frac{1 — i}{3 — 2i} = \frac{(1 — i)(3 + 2i)}{9 + 4} = \frac{3 + 2i — 3i — 2i^2}{13} = \frac{3 + 2i — 3i + 2}{13} = \frac{5 — i}{13} = \frac{5}{13} — \frac{1}{13} i;
\)
Ответ: \(\frac{5}{13} — \frac{1}{13} i\).

2)
\(
\frac{z_1}{\overline{z_1} + z_2} = \frac{1 + i}{(1 — i) + (3 — 2i)} = \frac{1 + i}{4 — 3i} = \frac{(1 + i)(4 + 3i)}{16 + 9} = \frac{4 + 3i + 4i + 3i^2}{25} = \frac{4 + 7i — 3}{25} =
\)
\(
= \frac{1}{25} + \frac{7}{25} i;
\)
Ответ: \(\frac{1}{25} + \frac{7}{25} i\).

3)
\(
\frac{z_1 — z_2}{\overline{z_2}} = \frac{(1 + i) — (3 — 2i)}{3 + 2i} = \frac{3i — 2}{3 + 2i} = \frac{(3i — 2)(3 — 2i)}{9 + 4} = \frac{9i — 6 — 6 + 4i}{13} = \frac{13i — 12}{13} = i;
\)
Ответ: \(i\).

Найти значение выражения:
\( z_1 = 1 + i, \quad z_2 = 3 — 2i; \)

1) Вычисляем \(\frac{\overline{z_1}}{z_2}\):

\(
\frac{\overline{z_1}}{z_2} = \frac{1 — i}{3 — 2i}
\)

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое число \(3 + 2i\):

\(
= \frac{(1 — i)(3 + 2i)}{(3 — 2i)(3 + 2i)} = \frac{(1 \cdot 3 + 1 \cdot 2i — i \cdot 3 — i \cdot 2i)}{9 + 4}
\)

В знаменателе:

\(
(3 — 2i)(3 + 2i) = 9 + 4 = 13
\)

В числителе:

\(
= \frac{3 + 2i — 3i + 2}{13} = \frac{5 — i}{13}
\)

Разделим каждую часть на 13:

\(
= \frac{5}{13} — \frac{1}{13} i
\)

Ответ:

\(
\frac{5}{13} — \frac{1}{13} i
\)

2) Теперь вычисляем \(\frac{z_1}{\overline{z_1} + z_2}\):

\(
\frac{z_1}{\overline{z_1} + z_2} = \frac{1 + i}{(1 — i) + (3 — 2i)}
\)

Сначала вычислим сумму в знаменателе:

\(
= \frac{1 + i}{4 — 3i}
\)

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое число \(4 + 3i\):

\(
= \frac{(1 + i)(4 + 3i)}{(4 — 3i)(4 + 3i)} = \frac{(1 \cdot 4 + 1 \cdot 3i + i \cdot 4 + i \cdot 3i)}{16 + 9}
\)

В знаменателе:

\(
(4 — 3i)(4 + 3i) = 16 + 9 = 25
\)

В числителе:

\(
= \frac{4 + 3i + 4i — 3}{25} = \frac{1 + 7i}{25}
\)

Разделим каждую часть на 25:

\(
= \frac{1}{25} + \frac{7}{25} i
\)

Ответ:

\(
\frac{1}{25} + \frac{7}{25} i
\)

3) Теперь вычисляем \(\frac{z_1 — z_2}{\overline{z_2}}\):

\(
\frac{z_1 — z_2}{\overline{z_2}} = \frac{(1 + i) — (3 — 2i)}{3 + 2i}
\)

Вычтем \(z_2\) из \(z_1\):

\(
= \frac{1 + i — 3 + 2i}{3 + 2i} = \frac{-2 + 3i}{3 + 2i}
\)

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое число \(3 — 2i\):

\(
= \frac{(-2 + 3i)(3 — 2i)}{(3 + 2i)(3 — 2i)} = \frac{-6 + 4i + 9i — 6i^2}{9 + 4}
\)

В знаменателе:

\(
(3 + 2i)(3 — 2i) = 9 + 4 = 13
\)

В числителе, заменяя \(i^2 = -1\):

\(
= \frac{-6 + 13i + 6}{13} = \frac{13i}{13} = i
\)

Ответ:

\(
i
\)