ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Дано: } z_1 = 1 + i, \quad z_2 = 3 — 2i.
\)

Вычислите:

1) \(\frac{z_1 + z_2}{z_2^2}\);

2) \(\frac{z_1 — z_2}{|z_1 — z_2|}\);

3) \(\frac{(z_1 + z_2)^2}{z_2}.\)

Найти значение выражения:
\( z_1 = 1 — i, \quad z_2 = 3 + 2i; \)

1)
\(
\frac{z_1 + z_2}{(z_2)^2} = \frac{(1 — i) + (3 + 2i)}{(3 + 2i)^2} = \frac{4 — 3i}{9 + 12i — 4} = \frac{(4 — 3i)(5 — 12i)}{(5 + 12i)(5 — 12i)} = \frac{20 — 48i — 15i — 36}{25 + 144} = \frac{-16 — 63i}{169} =
\)
\(
= -\frac{16}{169} — \frac{63}{169} i;
\)
Ответ: \(-\frac{16}{169} — \frac{63}{169} i\).

2)
\(
\frac{z_1 — \overline{z_2}}{z_1 — z_2} = \frac{(1 — i) — (3 — 2i)}{(1 + i) — (3 + 2i)} = \frac{i — 2}{-i — 2} = \frac{(i — 2)(i — 2)}{(i + 2)(i — 2)} = \frac{-1 — 4i + 4}{-1 — 4} = \frac{3 — 4i}{5};
\)
Ответ: \(\frac{3}{5} — \frac{4}{5} i\).

3)
\(
\frac{(\overline{z_1} + z_2)^2}{z_2} = \frac{((1 + i) + (3 + 2i))^2}{3 + 2i} = \frac{(4 + 3i)^2}{3 + 2i} = \frac{16 + 24i — 9}{3 + 2i} = \frac{7 + 24i}{3 + 2i} = \frac{(7 + 24i)(3 — 2i)}{(3 + 2i)(3 — 2i)} =
\)
\(
= \frac{21 — 14 + 72i + 48}{9 + 4} = \frac{69 + 58i}{13};
\)
Ответ: \(\frac{69}{13} + \frac{58}{13} i\).

Даны комплексные числа:
\( z_1 = 1 — i, \quad z_2 = 3 + 2i. \)

1) Вычислить \(\displaystyle \frac{z_1 + z_2}{(z_2)^2}\)

Сначала найдём числитель:
\(
z_1 + z_2 = (1 — i) + (3 + 2i) = 4 + i.
\)

Теперь найдём знаменатель:
\(
(z_2)^2 = (3 + 2i)^2.
\)

Вычислим квадрат комплексного числа:
\(
(3 + 2i)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2i + (2i)^2 = 9 + 12i + 4i^2.
\)

Так как \(i^2 = -1\), то
\(
4i^2 = 4 \cdot (-1) = -4.
\)

Следовательно,
\(
(3 + 2i)^2 = 9 + 12i — 4 = 5 + 12i.
\)

Итак, дробь:
\(
\frac{z_1 + z_2}{(z_2)^2} = \frac{4 + i}{5 + 12i}.
\)

Чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю число \(5 — 12i\):
\(
\frac{4 + i}{5 + 12i} \cdot \frac{5 — 12i}{5 — 12i} = \frac{(4 + i)(5 — 12i)}{(5 + 12i)(5 — 12i)}.
\)

В числителе:
\(
(4 + i)(5 — 12i) = 4 \cdot 5 + 4 \cdot (-12i) + i \cdot 5 + i \cdot (-12i) = 20 — 48i + 5i —
\)
\(
— 12i^2.
\)

Опять используем \(i^2 = -1\):
\(
-12i^2 = -12 \cdot (-1) = +12.
\)

Итого:
\(
20 — 48i + 5i + 12 = (20 + 12) + (-48i + 5i) = 32 — 43i.
\)

В знаменателе:
\(
(5 + 12i)(5 — 12i) = 5^2 — (12i)^2 = 25 — 144 i^2 = 25 — 144 \cdot (-1) =
\)
\(
= 25 + 144 = 169.
\)

Таким образом,
\(
\frac{z_1 + z_2}{(z_2)^2} = \frac{32 — 43i}{169} = \frac{32}{169} — \frac{43}{169} i.
\)

\(
2) \frac{z_1 — \overline{z_2}}{z_1 — z_2}
\)

где \( z_1 = 1 + i \) и \( z_2 = 3 + 2i \). Сначала найдем комплексное сопряжение \( \overline{z_2} \):

\(
\overline{z_2} = 3 — 2i.
\)

Теперь подставим значения в выражение:

\(
\frac{(1 — i) — (3 — 2i)}{(1 + i) — (3 + 2i)}.
\)

В числителе:

\(
(1 — i) — (3 — 2i) = 1 — i — 3 + 2i = -2 + i.
\)

В знаменателе:

\(
(1 + i) — (3 + 2i) = 1 + i — 3 — 2i = -2 — i.
\)

Теперь мы имеем:

\(
\frac{-2 + i}{-2 — i}.
\)

Для упрощения этого выражения, умножим числитель и знаменатель на сопряженное значение знаменателя:

\(
\frac{(-2 + i)(-2 + i)}{(-2 — i)(-2 + i)}.
\)

Вычислим числитель:

\(
(-2 + i)(-2 + i) = 4 — 4i + i^2 = 4 — 4i — 1 = 3 — 4i.
\)

Теперь вычислим знаменатель:

\(
(-2 — i)(-2 + i) = 4 + 2i — 2i — i^2 = 4 + 1 = 5.
\)

Теперь подставим обратно в выражение:

\(
\frac{3 — 4i}{5}.
\)

Это можно записать как:

\(
\frac{3}{5} — \frac{4}{5}i.
\)

Ответ:

\(
\frac{3}{5} — \frac{4}{5}i.
\)

3) Вычислить \(\displaystyle \frac{(\overline{z_1} + z_2)^2}{z_2}\)

Сначала найдём сопряжённое число \(\overline{z_1}\):
\(
\overline{z_1} = 1 + i.
\)

Вычислим сумму:
\(
\overline{z_1} + z_2 = (1 + i) + (3 + 2i) = 4 + 3i.
\)

Возведём в квадрат:
\(
(4 + 3i)^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot 3i + (3i)^2 = 16 + 24i + 9 i^2.
\)

Так как \(i^2 = -1\), то
\(
9 i^2 = 9 \cdot (-1) = -9,
\)

значит:
\(
(4 + 3i)^2 = 16 + 24i — 9 = 7 + 24i.
\)

Теперь вычислим дробь:
\(
\frac{7 + 24i}{3 + 2i}.
\)

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателя \(3 — 2i\):
\(
\frac{7 + 24i}{3 + 2i} \cdot \frac{3 — 2i}{3 — 2i} = \frac{(7 + 24i)(3 — 2i)}{(3 + 2i)(3 — 2i)}.
\)

В числителе:
\(
(7 + 24i)(3 — 2i) = 7 \cdot 3 + 7 \cdot (-2i) + 24i \cdot 3 + 24i \cdot (-2i) =
\)
\(
= 21 — 14i + 72i — 48 i^2.
\)

Преобразуем:
\(
-48 i^2 = -48 \cdot (-1) = 48,
\)

получаем:
\(
21 + (-14i + 72i) + 48 = (21 + 48) + 58i = 69 + 58i.
\)

В знаменателе:
\(
(3 + 2i)(3 — 2i) = 3^2 — (2i)^2 = 9 — 4 i^2 = 9 — 4 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13.
\)

Итог:
\(
\frac{(\overline{z_1} + z_2)^2}{z_2} = \frac{69 + 58i}{13} = \frac{69}{13} + \frac{58}{13} i.
\)