ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.35 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите неравенство:

1) \( |z_1 + z_2| < |z_1| + |z_2| \);

2) \( |z_1 + z_2 + \ldots + z_n| < |z_1| + |z_2| + \ldots + |z_n| \).

1) \(|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|\);
\(|a_1 + b_1 i + a_2 + b_2 i| \leq |a_1 + b_1 i| + |a_2 + b_2 i|\);
\(
\sqrt{(a_1 + a_2)^2 + (b_1 + b_2)^2} \leq \sqrt{a_1^2 + b_1^2} + \sqrt{a_2^2 + b_2^2};
\)
\(
(a_1 + a_2)^2 + (b_1 + b_2)^2 \leq (a_1^2 + b_1^2) + 2 \sqrt{(a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2)} + (a_2^2 + b_2^2);
\)
\(
2 a_1 a_2 + 2 b_1 b_2 \leq 2 \sqrt{(a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2)};
\)
\(
a_1 a_2 + b_1 b_2 \leq \sqrt{(a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2)};
\)
\(
a_1^2 a_2^2 + 2 a_1 a_2 b_1 b_2 + b_1^2 b_2^2 \leq a_1^2 a_2^2 + a_1^2 b_2^2 + b_1^2 a_2^2 + b_1^2 b_2^2;
\)
\(
2 a_1 a_2 b_1 b_2 \leq a_1^2 b_2^2 + b_1^2 a_2^2;
\)
\(
a_1^2 b_2^2 — 2 a_1 a_2 b_1 b_2 + b_1^2 a_2^2 \geq 0;
\)
\(
(a_1 b_2 — b_1 a_2)^2 \geq 0;
\)
Что и требовалось доказать.

2) \(|z_1 + z_2 + \cdots + z_n| \leq |z_1| + |z_2| + \cdots + |z_n|\);
\(
|z_1 + (z_2 + z_3 + \cdots + z_n)| \leq |z_1| + |z_2 + z_3 + \cdots + z_n| \leq
\)
\(
\leq |z_1| + |z_2 + (z_3 + z_4 + \cdots + z_n)| \leq |z_1| + |z_2| + |z_3 + z_4 + \cdots + z_n| \leq
\)
\(
\leq \cdots \leq |z_1| + |z_2| + |z_3| + |z_4| + \cdots + |z_n|;
\)
Что и требовалось доказать.

1) Доказать неравенство:

\(
|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|
\)

Для комплексных чисел \( z_1 = a_1 + b_1 i \) и \( z_2 = a_2 + b_2 i \) имеем:

\(
|a_1 + b_1 i + a_2 + b_2 i| \leq |a_1 + b_1 i| + |a_2 + b_2 i|
\)

Это можно записать как:

\(
\sqrt{(a_1 + a_2)^2 + (b_1 + b_2)^2} \leq \sqrt{a_1^2 + b_1^2} + \sqrt{a_2^2 + b_2^2}
\)

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

\(
(a_1 + a_2)^2 + (b_1 + b_2)^2 \leq \left( \sqrt{a_1^2 + b_1^2} + \sqrt{a_2^2 + b_2^2} \right)^2
\)

Раскроем правую часть:

\(
= (a_1^2 + b_1^2) + 2 \sqrt{(a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2)} + (a_2^2 + b_2^2)
\)

Таким образом, получаем:

\(
(a_1 + a_2)^2 + (b_1 + b_2)^2 \leq (a_1^2 + b_1^2) + 2 \sqrt{(a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2)} + (a_2^2 + b_2^2)
\)

Теперь упростим выражение:

\(
= a_1^2 + 2a_1a_2 + a_2^2 + b_1^2 + 2b_1b_2 + b_2^2
\)

Сравнивая обе стороны, получаем:

\(
2 a_1 a_2 + 2 b_1 b_2 \leq 2 \sqrt{(a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2)}
\)

Разделим на 2:

\(
a_1 a_2 + b_1 b_2 \leq \sqrt{(a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2)}
\)

Теперь возведем обе стороны в квадрат еще раз:

\(
(a_1 a_2 + b_1 b_2)^2 \leq (a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2)
\)

Раскроем левую часть:

\(
a_1^2 a_2^2 + 2 a_1 a_2 b_1 b_2 + b_1^2 b_2^2 \leq a_1^2 a_2^2 + a_1^2 b_2^2 + b_1^2 a_2^2 + b_1^2 b_2^2
\)

Упрощая, получаем:

\(
2 a_1 a_2 b_1 b_2 \leq a_1^2 b_2^2 + b_1^2 a_2^2
\)

Теперь, после упрощения, получаем неравенство:

\(
a_1^2 b_2^2 — 2 a_1 a_2 b_1 b_2 + b_1^2 a_2^2 \geq 0
\)

Это неравенство является квадратом:

\(
(a_1 b_2 — b_1 a_2)^2 \geq 0
\)

Что и требовалось доказать.

Теперь перейдем ко второму пункту.

Доказать неравенство:

\(
|z_1 + z_2 + \cdots + z_n| \leq |z_1| + |z_2| + \cdots + |z_n|
\)

Для доказательства используем индукцию по \( n \).

База индукции: Для \( n = 1 \):

\(
|z_1| = |z_1|
\)

Шаг индукции: Предположим, что неравенство верно для \( n = k \):

\(
|z_1 + z_2 + \cdots + z_k| \leq |z_1| + |z_2| + \cdots + |z_k|
\)

Теперь рассмотрим \( n = k+1 \):

\(
|z_1 + z_2 + \cdots + z_k + z_{k+1}| = |(z_1 + z_2 + \cdots + z_k) + z_{k+1}|
\)

Применим неравенство треугольника:

\(
\leq |z_1 + z_2 + \cdots + z_k| + |z_{k+1}|
\)

По предположению индукции:

\(
\leq (|z_1| + |z_2| + \cdots + |z_k|) + |z_{k+1}|
\)

Таким образом, получаем:

\(
= |z_1| + |z_2| + \cdots + |z_k| + |z_{k+1}|
\)

Что и требовалось доказать для \( n = k+1 \).

Таким образом, неравенство верно для всех \( n \).