ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.36 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите неравенство:

\(
|z_1 — z_2|^2 + |z_1 + z_2|^2 = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2)
\)

Доказать равенство:

\(
|z_1 — z_2|^2 + |z_1 + z_2|^2 = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2);
\)

\(
|a_1 + b_1 i — a_2 — b_2 i|^2 + |a_1 + b_1 i + a_2 + b_2 i|^2 = (|a_1 + b_1 i|^2 + |a_2 + b_2 i|^2);
\)

\(
(a_1 — a_2)^2 + (b_1 — b_2)^2 + (a_1 + a_2)^2 + (b_1 + b_2)^2 = 2(a_1^2 + b_1^2 + a_2^2 + b_2^2);
\)

\(
2 a_1^2 + 2 a_2^2 + 2 b_1^2 + 2 b_2^2 = 2 a_1^2 + 2 b_1^2 + 2 a_2^2 + 2 b_2^2;
\)

Что и требовалось доказать.

Докажем равенство:

\(
|z_1 — z_2|^2 + |z_1 + z_2|^2 = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2).
\)

Пусть \( z_1 = a_1 + b_1 i \) и \( z_2 = a_2 + b_2 i \). Тогда мы можем выразить \( |z_1 — z_2|^2 \) и \( |z_1 + z_2|^2 \).

Сначала найдём \( |z_1 — z_2|^2 \):

\(
|z_1 — z_2|^2 = |(a_1 — a_2) + (b_1 — b_2)i|^2 = (a_1 — a_2)^2 + (b_1 — b_2)^2.
\)

Теперь найдём \( |z_1 + z_2|^2 \):

\(
|z_1 + z_2|^2 = |(a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i|^2 = (a_1 + a_2)^2 + (b_1 + b_2)^2.
\)

Теперь сложим оба выражения:

\(
|z_1 — z_2|^2 + |z_1 + z_2|^2 = (a_1 — a_2)^2 + (b_1 — b_2)^2 + (a_1 + a_2)^2 + (b_1 + b_2)^2.
\)

Теперь раскроем все квадраты:

\(
= (a_1^2 — 2a_1a_2 + a_2^2) + (b_1^2 — 2b_1b_2 + b_2^2) + (a_1^2 + 2a_1a_2 + a_2^2) +
\)
\(
+ (b_1^2 + 2b_1b_2 + b_2^2).
\)

Соберём подобные члены:

\(
= 2a_1^2 + 2a_2^2 + 2b_1^2 + 2b_2^2.
\)

Теперь найдем \( 2(|z_1|^2 + |z_2|^2) \):

\(
|z_1|^2 = |a_1 + b_1 i|^2 = a_1^2 + b_1^2,
\)
\(
|z_2|^2 = |a_2 + b_2 i|^2 = a_2^2 + b_2^2.
\)

Таким образом,

\(
|z_1|^2 + |z_2|^2 = a_1^2 + b_1^2 + a_2^2 + b_2^2.
\)

Умножим на 2:

\(
2(|z_1|^2 + |z_2|^2) = 2(a_1^2 + b_1^2 + a_2^2 + b_2^2).
\)

Теперь у нас есть два равенства:

\(
|z_1 — z_2|^2 + |z_1 + z_2|^2 = 2a_1^2 + 2a_2^2 + 2b_1^2 + 2b_2^2,
\)
и
\(
= 2(a_1^2 + b_1^2 + a_2^2 + b_2^2).
\)

Таким образом, мы доказали равенство:

\(
|z_1 — z_2|^2 + |z_1 + z_2|^2 = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2).
\)

Что и требовалось доказать.