ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.37 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите неравенство:

\(
|z_1 — z_2| > ||z_1| — |z_2||
\)

Доказать неравенство:

\(
|z_1 — z_2| \geq ||z_1| — |z_2||;
\)

\(
|z_1 — z_2|^2 \geq (||z_1| — |z_2||)^2;
\)

\(
|a_1 + b_1 i — a_2 — b_2 i|^2 \geq (|a_1 + b_1 i| — |a_2 + b_2 i|)^2;
\)

\(
(a_1 — a_2)^2 + (b_1 — b_2)^2 \geq \left(\sqrt{a_1^2 + b_1^2} — \sqrt{a_2^2 + b_2^2}\right)^2;
\)

\(
(a_1 — a_2)^2 + (b_1 — b_2)^2 \geq (a_1^2 + b_1^2) — 2 \sqrt{(a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2)} + (a_2^2 + b_2^2);
\)

\(
-2 a_1 a_2 — 2 b_1 b_2 \geq -2 \sqrt{(a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2)};
\)

\(
a_1 a_2 + b_1 b_2 \leq \sqrt{(a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2)};
\)

\(
a_1^2 a_2^2 + 2 a_1 a_2 b_1 b_2 + b_1^2 b_2^2 \leq a_1^2 a_2^2 + a_1^2 b_2^2 + b_1^2 a_2^2 + b_1^2 b_2^2;
\)

\(
2 a_1 a_2 b_1 b_2 \leq a_1^2 b_2^2 + b_1^2 a_2^2;
\)

\(
a_1^2 b_2^2 — 2 a_1 a_2 b_1 b_2 + b_1^2 a_2^2 \geq 0;
\)

\(
(a_1 b_2 — b_1 a_2)^2 \geq 0;
\)

Что и требовалось доказать.

Давайте подробно разберём доказательство неравенства:

\(
|z_1 — z_2| \geq ||z_1| — |z_2||.
\)

Пусть \( z_1 = a_1 + b_1 i \) и \( z_2 = a_2 + b_2 i \). Начнём с того, что мы можем записать:

\(
|z_1 — z_2| = |(a_1 — a_2) + (b_1 — b_2)i| = \sqrt{(a_1 — a_2)^2 + (b_1 — b_2)^2}.
\)

Теперь найдём \( ||z_1| — |z_2|| \):

\(
|z_1| = \sqrt{a_1^2 + b_1^2}, \quad |z_2| = \sqrt{a_2^2 + b_2^2}.
\)

Следовательно,

\(
||z_1| — |z_2|| = |\sqrt{a_1^2 + b_1^2} — \sqrt{a_2^2 + b_2^2}|.
\)

Теперь возведём обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корней:

\(
|z_1 — z_2|^2 \geq (||z_1| — |z_2||)^2.
\)

Подставим выражения:

\(
(a_1 — a_2)^2 + (b_1 — b_2)^2 \geq \left(\sqrt{a_1^2 + b_1^2} — \sqrt{a_2^2 + b_2^2}\right)^2.
\)

Теперь раскроем квадрат справа:

\(
(a_1 — a_2)^2 + (b_1 — b_2)^2 \geq (a_1^2 + b_1^2) + (a_2^2 + b_2^2) — 2\sqrt{(a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2)}.
\)

Перепишем неравенство:

\(
(a_1 — a_2)^2 + (b_1 — b_2)^2 \geq a_1^2 + b_1^2 + a_2^2 + b_2^2 — 2\sqrt{(a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2)}.
\)

Соберём все члены в одну сторону:

\(
(a_1 — a_2)^2 + (b_1 — b_2)^2 — (a_1^2 + b_1^2) — (a_2^2 + b_2^2) + 2\sqrt{(a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2)} \geq 0.
\)

Теперь упростим левую часть:

\(
— 2 a_1 a_2 — 2 b_1 b_2 + 2\sqrt{(a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2)} \geq 0.
\)

Разделим на 2:

\(
-a_1 a_2 — b_1 b_2 + \sqrt{(a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2)} \geq 0.
\)

Это неравенство эквивалентно:

\(
a_1 a_2 + b_1 b_2 \leq \sqrt{(a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2)}.
\)

Это неравенство является следствием неравенства Коши-Шварца. Теперь, если мы возьмём квадрат обеих сторон, то получим:

\(
(a_1 a_2 + b_1 b_2)^2 \leq (a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2).
\)

Раскроем левую часть:

\(
a_1^2 a_2^2 + 2 a_1 a_2 b_1 b_2 + b_1^2 b_2^2 \leq a_1^2 a_2^2 + a_1^2 b_2^2 + b_1^2 a_2^2 + b_1^2 b_2^2.
\)

Упрощая это неравенство, мы получаем:

\(
0 \leq a_1^2 b_2^2 — 2 a_1 a_2 b_1 b_2 + b_{1}^{ 4} .
\)

Теперь мы видим, что это выражение является квадратом:

\(
(a_{ 1}b_{ 3}-b_{ 4})^{ 4} .
\)

Таким образом, мы доказали, что

\(
(a_{ 4}b_{ 6}-b_{ 3})^{ 4} \geq 0.
\)

Что и требовалось доказать.