ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.38 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что

\(
\frac{z_1}{z_2} = z_1 \div z_2
\)

Доказать равенство:

\(
\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}};
\)

\(
\frac{a_1 + b_1 i}{a_2 + b_2 i} = \frac{a_1 + b_1 i}{a_2 + b_2 i};
\)

\(
\frac{(a_1 + b_1 i)(a_2 — b_2 i)}{a_2^2 + b_2^2} = \frac{a_1 — b_1 i}{a_2 — b_2 i};
\)

\(
\frac{a_1 a_2 — a_1 b_2 i + b_1 a_2 i + b_1 b_2}{a_2^2 + b_2^2} = \frac{(a_1 — b_1 i)(a_2 + b_2 i)}{a_2^2 + b_2^2};
\)

\(
\frac{(a_1 a_2 + b_1 b_2) + (b_1 a_2 — a_1 b_2) i}{a_2^2 + b_2^2} = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 — (b_1 a_2 — a_1 b_2) i}{a_2^2 + b_2^2};
\)

\(
\frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + (b_1 a_2 — a_1 b_2) i}{a_2^2 + b_2^2} = \frac{(a_1 a_2 + b_1 b_2) — (b_1 a_2 — a_1 b_2) i}{a_2^2 + b_2^2};
\)

Что и требовалось доказать.

Пусть \( z_1 = a_1 + b_1 i \) и \( z_2 = a_2 + b_2 i \). Мы можем записать дробь:

\(
\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + b_1 i}{a_2 + b_2 i}.
\)

Теперь умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряжённое значение \( z_2 \):

\(
\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a_1 + b_1 i)(a_2 — b_2 i)}{(a_2 + b_2 i)(a_2 — b_2 i)}.
\)

Знаменатель можно упростить:

\(
(a_2 + b_2 i)(a_2 — b_2 i) = a_2^2 + b_2^2.
\)

Теперь числитель:

\(
(a_1 + b_1 i)(a_2 — b_2 i) = a_1 a_2 — a_1 b_2 i + b_1 a_2 i + b_1 b_2.
\)

Таким образом, мы имеем:

\(
\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a_1 a_2 + b_1 b_2) + (b_1 a_2 — a_1 b_2) i}{a_2^2 + b_2^2}.
\)

Теперь найдём комплексное сопряжение:

\(
\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \overline{\left(\frac{(a_1 a_2 + b_1 b_2) + (b_1 a_2 — a_1 b_2) i}{a_2^2 + b_2^2}\right)}.
\)

Сопряжение дроби даёт:

\(
\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline{(a_1 a_2 + b_1 b_2) + (b_1 a_2 — a_1 b_2) i}}{a_2^2 + b_2^2}.
\)

Теперь найдём сопряжение числителя:

\(
\overline{(a_1 a_2 + b_1 b_2) + (b_1 a_2 — a_1 b_2) i} = (a_1 a_2 + b_1 b_2) — (b_1 a_2 — a_1 b_2) i.
\)

Таким образом, мы можем записать:

\(
\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{(a_1 a_2 + b_1 b_2) — (b_1 a_2 — a_1 b_2) i}{a_2^2 + b_2^2}.
\)

Теперь сравним это с правой частью равенства:

\(
\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} = \frac{\overline{(a_1 + b_1 i)}}{\overline{(a_2 + b_2 i)}} = \frac{a_1 — b_1 i}{a_2 — b_2 i}.
\)

Умножим числитель и знаменатель на \( a_2 + b_2 i \):

\(
\frac{(a_1 — b_1 i)(a_2 + b_2 i)}{(a_2 — b_2 i)(a_2 + b_2 i)}.
\)

Знаменатель снова будет:

\(
(a_2 — b_2 i)(a_2 + b_2 i) = a_2^2 + b_2^2.
\)

Числитель можно раскрыть:

\(
(a_1 — b_1 i)(a_2 + b_2 i) = a_1 a_2 + a_1 b_2 i — b_1 a_2 i — b_1 b_2.
\)

Таким образом, мы получаем:

\(
\frac{(a_1 a_2 + b_1 b_2) + (b_1 a_2 — a_1 b_2)i}{a_2^2 + b_2^2}.
\)

Теперь видно, что обе стороны равенства совпадают:

\(
\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}.
\)

Что и требовалось доказать.