ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите действительные числа х и у из равенства:

1) \( x + (x — y)i = -6 + i \)

2) \( x^2 + xy i = 9 — 2i \)

3) \( (x^2 + 5yi) — (y + xi) = 3 + 3i \)

Найти числа \(x\) и \(y\):

1)
\(
x + (x — y)i = -6 + i;
\)
\(
x = -6, \quad x — y = 1;
\)
\(
-6 — y = 1;
\)
\(
y = -7;
\)
Ответ: \((-6; -7)\).

2)
\(
x^2 + x y i = 9 — 2i;
\)
\(
x^2 = 9, \quad x = \pm 3;
\)
\(
x y = -2;
\)
\(
y = \frac{-2}{x} = \frac{-2}{\pm 3} = \pm \frac{2}{3};
\)
Ответ: \(\left(-3; \frac{2}{3}\right); \quad \left(3; -\frac{2}{3}\right)\).

3)
\(
(x^2 + 5 y i) — (y + x i) = 3 + 3 i;
\)
\(
(x^2 — y) + (5 y — x) i = 3 + 3 i;
\)
\(
x^2 — y = 3, \quad y = x^2 — 3;
\)
\(
5 y — x = 3;
\)
\(
5(x^2 — 3) — x = 3;
\)
\(
5 x^2 — 15 — x = 3;
\)
\(
5 x^2 — x — 18 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 5 \cdot 18 = 1 + 360 = 361,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{1 — 19}{2 \cdot 5} = \frac{-18}{10} = -\frac{9}{5}, \quad x_2 = \frac{1 + 19}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2;
\)
\(
y_1 = (x_1)^2 — 3 = \left(-\frac{9}{5}\right)^2 — 3 = \frac{81}{25} — 3 = \frac{81}{25} — \frac{75}{25} = \frac{6}{25},
\)
\(
y_2 = x_2^2 — 3 = 2^2 — 3 = 4 — 3 = 1;
\)
Ответ: \(\left(2; 1\right); \quad \left(-\frac{9}{5}; \frac{6}{25}\right)\).

Найти числа \(x\) и \(y\):

1)
Для уравнения:
\(
x + (x — y)i = -6 + i.
\)
Сравнивая действительные и мнимые части, получаем:
\(
x = -6,
\)
\(
x — y = 1.
\)
Подставим значение \(x\) в уравнение для мнимой части:
\(
-6 — y = 1.
\)
Решим это уравнение:
\(
-y = 1 + 6,
\)
\(
-y = 7,
\)
\(
y = -7.
\)
Ответ: \((-6; -7)\).

2)
Для уравнения:
\(
x^2 + x y i = 9 — 2i.
\)
Сравнивая действительные и мнимые части, получаем:
\(
x^2 = 9, \quad x = \pm 3,
\)
\(
x y = -2.
\)
Теперь выразим \(y\):
\(
y = \frac{-2}{x} = \frac{-2}{\pm 3} = \pm \frac{2}{3}.
\)
Ответ: \(\left(-3; \frac{2}{3}\right); \quad \left(3; -\frac{2}{3}\right)\).

3)
Для уравнения:
\(
(x^2 + 5 y i) — (y + x i) = 3 + 3 i.
\)
Сравнивая действительные и мнимые части, получаем:
\(
(x^2 — y) + (5 y — x) i = 3 + 3 i.
\)
Таким образом, мы имеем две системы уравнений:
\(
x^2 — y = 3,
\)
\(
5 y — x = 3.
\)
Из первого уравнения выразим \(y\):
\(
y = x^2 — 3.
\)
Подставим это значение во второе уравнение:
\(
5(x^2 — 3) — x = 3.
\)
Раскроем скобки:
\(
5 x^2 — 15 — x = 3.
\)
Переносим все в одну сторону:
\(
5 x^2 — x — 18 = 0.
\)
Теперь найдем дискриминант \(D\):
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-18) = 1 + 360 = 361.
\)
Теперь найдем корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{361}}{2 \cdot 5} = \frac{1 — 19}{10} = \frac{-18}{10} = -\frac{9}{5},
\)
\(
x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{361}}{2 \cdot 5} = \frac{1 + 19}{10} = \frac{20}{10} = 2.
\)
Теперь найдем соответствующие значения \(y_1\) и \(y_2\):
Для \(x_1\):
\(
y_1 = (x_1)^2 — 3 = \left(-\frac{9}{5}\right)^2 — 3 = \frac{81}{25} — 3 = \frac{81}{25} — \frac{75}{25} = \frac{6}{25}.
\)
Для \(x_2\):
\(
y_2 = x_2^2 — 3 = 2^2 — 3 = 4 — 3 = 1.
\)
Ответ: \(\left(2; 1\right); \quad \left(-\frac{9}{5}; \frac{6}{25}\right)\).