ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.40 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что:
1) \( |z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2| \);
2) \( \left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \).

Доказать равенство:

1) \(|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\);

\(
|(a_1 + b_1 i)(a_2 + b_2 i)| = |a_1 + b_1 i| \cdot |a_2 + b_2 i|;
\)

\(
|a_1 a_2 + a_1 b_2 i + b_1 a_2 i — b_1 b_2| = |a_1 + b_1 i| \cdot |a_2 + b_2 i|;
\)

\(
\sqrt{(a_1 a_2 — b_1 b_2)^2 + (a_1 b_2 + b_1 a_2)^2} = \sqrt{a_1^2 + b_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2};
\)

\(
a_1^2 a_2^2 + b_1^2 b_2^2 + a_1^2 b_2^2 + b_1^2 a_2^2 = a_1^2 a_2^2 + a_1^2 b_2^2 + b_1^2 a_2^2 + b_1^2 b_2^2.
\)

Что и требовалось доказать.

2) \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|};\)

\(
\left|\frac{a_1 + b_1 i}{a_2 + b_2 i}\right| = \frac{|a_1 + b_1 i|}{|a_2 + b_2 i|};
\)

\(
\left|\frac{(a_1 + b_1 i)(a_2 — b_2 i)}{a_2^2 + b_2^2}\right| = \frac{|a_1 + b_1 i|}{|a_2 + b_2 i|};
\)

\(
\left|\frac{a_1 a_2 — a_1 b_2 i + b_1 a_2 i + b_1 b_2}{a_2^2 + b_2^2}\right| = \frac{|a_1 + b_1 i|}{|a_2 + b_2 i|};
\)

\(
\sqrt{\frac{(a_1 a_2 + b_1 b_2)^2}{(a_2^2 + b_2^2)^2} + \frac{(b_1 a_2 — a_1 b_2)^2}{(a_2^2 + b_2^2)^2}} = \frac{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}};
\)

\(
\frac{(a_1 a_2 + b_1 b_2)^2 + (b_1 a_2 — a_1 b_2)^2}{(a_2^2 + b_2^2)^2} = \frac{a_1^2 + b_1^2}{a_2^2 + b_2^2};
\)

\(
(a_1 a_2 + b_1 b_2)^2 + (b_1 a_2 — a_1 b_2)^2 = (a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2);
\)

\(
a_1^2 a_2^2 + b_1^2 b_2^2 + b_1^2 a_2^2 + a_1^2 b_2^2 = a_1^2 a_2^2 + a_1^2 b_2^2 + b_1^2 a_2^2 + b_1^2 b_2^2.
\)

Что и требовалось доказать.

1) Доказать, что
\(
|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|,
\)
где \(z_1 = a_1 + b_1 i\), \(z_2 = a_2 + b_2 i\).

Рассмотрим произведение комплексных чисел:
\(
z_1 z_2 = (a_1 + b_1 i)(a_2 + b_2 i) = a_1 a_2 + a_1 b_2 i + b_1 a_2 i + b_1 b_2 i^2.
\)

Так как \(i^2 = -1\), получаем:
\(
z_1 z_2 = a_1 a_2 — b_1 b_2 + (a_1 b_2 + b_1 a_2) i.
\)

Модуль произведения равен
\(
|z_1 z_2| = \sqrt{(a_1 a_2 — b_1 b_2)^2 + (a_1 b_2 + b_1 a_2)^2}.
\)

Модуль каждого из чисел:
\(
|z_1| = \sqrt{a_1^2 + b_1^2}, \quad |z_2| = \sqrt{a_2^2 + b_2^2}.
\)

Нужно доказать, что
\(
\sqrt{(a_1 a_2 — b_1 b_2)^2 + (a_1 b_2 + b_1 a_2)^2} = \sqrt{a_1^2 + b_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2}.
\)

Возведём обе части в квадрат:
\(
(a_1 a_2 — b_1 b_2)^2 + (a_1 b_2 + b_1 a_2)^2 = (a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2).
\)

Раскроем левую часть:
\(
(a_1 a_2)^2 — 2 a_1 a_2 b_1 b_2 + (b_1 b_2)^2 + (a_1 b_2)^2 + 2 a_1 b_2 b_1 a_2 + (b_1 a_2)^2.
\)

Группируем:
\(
a_1^2 a_2^2 + b_1^2 b_2^2 — 2 a_1 a_2 b_1 b_2 + a_1^2 b_2^2 + 2 a_1 b_2 b_1 a_2 + b_1^2 a_2^2.
\)

Обратите внимание, что
\(
— 2 a_1 a_2 b_1 b_2 + 2 a_1 b_2 b_1 a_2 = 0,
\)
поскольку это одно и то же с разными знаками.

Остаётся:
\(
a_1^2 a_2^2 + b_1^2 b_2^2 + a_1^2 b_2^2 + b_1^2 a_2^2,
\)
что равно правой части:
\(
(a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2).
\)

Таким образом, равенство доказано.

2) Доказать, что
\(
\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|},
\)
где \(z_1 = a_1 + b_1 i\), \(z_2 = a_2 + b_2 i\), \(z_2 \neq 0\).

Рассмотрим модуль частного:
\(
\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \left|\frac{a_1 + b_1 i}{a_2 + b_2 i}\right|.
\)

Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое число к знаменателю:
\(
\left|\frac{(a_1 + b_1 i)(a_2 — b_2 i)}{(a_2 + b_2 i)(a_2 — b_2 i)}\right| = \left|\frac{(a_1 + b_1 i)(a_2 — b_2 i)}{a_2^2 + b_2^2}\right|.
\)

Произведение в числителе:
\(
(a_1 + b_1 i)(a_2 — b_2 i) = a_1 a_2 — a_1 b_2 i + b_1 a_2 i — b_1 b_2 i^2.
\)

Снова \(i^2 = -1\), значит:
\(
= a_1 a_2 + b_1 b_2 + (b_1 a_2 — a_1 b_2) i.
\)

Модуль дроби равен:
\(
\frac{\sqrt{(a_1 a_2 + b_1 b_2)^2 + (b_1 a_2 — a_1 b_2)^2}}{a_2^2 + b_2^2}.
\)

Нужно доказать, что это равно
\(
\frac{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}.
\)

Возведём равенство в квадрат:
\(
\frac{(a_1 a_2 + b_1 b_2)^2 + (b_1 a_2 — a_1 b_2)^2}{(a_2^2 + b_2^2)^2} = \frac{a_1^2 + b_1^2}{a_2^2 + b_2^2}.
\)

Умножим обе части на \((a_2^2 + b_2^2)^2\):
\(
(a_1 a_2 + b_1 b_2)^2 + (b_1 a_2 — a_1 b_2)^2 = (a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2).
\)

Раскроем левую часть:
\(
a_1^2 a_2^2 + 2 a_1 a_2 b_1 b_2 + b_1^2 b_2^2 + b_1^2 a_2^2 — 2 b_1 a_2 a_1 b_2 + a_1^2 b_2^2.
\)

Объединим похожие члены:
\(
a_1^2 a_2^2 + b_1^2 b_2^2 + a_1^2 b_2^2 + b_1^2 a_2^2 + 2 a_1 a_2 b_1 b_2 — 2 a_1 a_2 b_1 b_2.
\)

Слагаемые \(2 a_1 a_2 b_1 b_2\) и \(- 2 a_1 a_2 b_1 b_2\) взаимно уничтожаются.

Остаётся:
\(
a_1^2 a_2^2 + b_1^2 b_2^2 + a_1^2 b_2^2 + b_1^2 a_2^2,
\)
что совпадает с правой частью:
\(
(a_1^2 + b_1^2)(a_2^2 + b_2^2).
\)

Следовательно, равенство доказано.