ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.41 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите все натуральные значения } n, \text{ при которых } 1 + i + i^2 + \ldots + i^n = 1.
\)

Найти все натуральные \(n\), при которых:

\(
1 + i + i^2 + \cdots + i^n = 1;
\)

\(
i + i^2 + i^3 + i^4 + \cdots + i^{n-3} + i^{n-2} + i^{n-1} + i^n = 0;
\)

\(
(i + i^3) + (i^2 + i^4) + \cdots + (i^{n-3} + i^{n-1}) + (i^{n-2} + i^n) = 0;
\)

\(
(i — i) + (-1 + 1) + \cdots + (i — i) + (-1 + 1) = 0;
\)

\(n\) — число, кратное четырём.

Ответ:
\(
n = 4k.
\)

Рассмотрим условия, при которых выполняются данные равенства. Начнём с первого уравнения:

1. Уравнение:

\(
1 + i + i^2 + \cdots + i^n = 1
\)

Это сумма геометрической прогрессии. Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии с первым членом \(1\) и знаменателем \(i\) равна:

\(
S_n = \frac{1 — i^{n+1}}{1 — i}
\)

Приравниваем это к \(1\):

\(
\frac{1 — i^{n+1}}{1 — i} = 1
\)

Умножаем обе стороны на \(1 — i\):

\(
1 — i^{n+1} = 1 — i
\)

Отсюда получаем:

\(
-i^{n+1} = -i
\)

Следовательно:

\(
i^{n+1} = i
\)

Это уравнение выполняется, когда:

\(
n + 1 \equiv 1 \mod 4 \quad \Rightarrow \quad n \equiv 0 \mod 4
\)

Таким образом, \(n\) должно быть кратно четырём.

2. Уравнение:

\(
i + i^2 + i^3 + i^4 + \cdots + i^{n-3} + i^{n-2} + i^{n-1} + i^n = 0
\)

Сумма также является геометрической прогрессией, где первый член \(i\) и знаменатель \(i\):

\(
S = \frac{i(1 — i^{n-2})}{1 — i}
\)

Приравниваем это к нулю:

\(
i(1 — i^{n-2}) = 0
\)

Это выполняется, если \(i^{n-2} = 1\). Следовательно:

\(
n — 2 \equiv 0 \mod 4 \quad \Rightarrow \quad n \equiv 2 \mod 4
\)

3. Уравнение:

\(
(i + i^3) + (i^2 + i^4) + \cdots + (i^{n-3} + i^{n-1}) + (i^{n-2} + i^n) = 0
\)

Каждая пара в скобках содержит два члена: \(i^k + i^{k+2}\), где \(k\) изменяется от \(0\) до \(n-2\). Это можно записать как:

\(
(i + i^3) + (i^2 + i^4) + \cdots = 0
\)

Если \(n\) четное, то количество пар будет равно \(\frac{n}{2}\). Для каждой пары, мы имеем:

— Если \(k \equiv 0 \mod 4\), то \(i^k + i^{k+2} = 0\).
— Если \(k \equiv 2 \mod 4\), то \(i^k + i^{k+2} = 0\).

Таким образом, это равенство выполняется, если \(n\) кратно четырём.

4. Уравнение:

\(
(i — i) + (-1 + 1) + \cdots + (i — i) + (-1 + 1) = 0
\)

Каждая пара в данном уравнении равна нулю, и оно будет равно нулю независимо от значения \(n\).

В итоге, все условия сводятся к тому, что \(n\) должно быть кратно четырём. Мы можем записать ответ так:

Ответ:

\(
n = 4k,
\)

где \(k\) — натуральное число.