Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.42 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите значение выражения
\(
S = i + 2i^2 + 3i^3 + \ldots + 100i^{100}
\)
Найти значение выражения:
\(
i + 2i^2 + 3i^3 + \cdots + 100i^{100} =
\)
\(
= i — 2 — 3i + 4 + 5i — 6 — 7i + 8 + \cdots + 97i — 98 — 99i + 100 =
\)
\(
= (-2i + 2) + (-2i + 2) + \cdots + (-2i + 2) = \frac{100}{4}(-2i + 2) = 50 — 50i;
\)
Ответ:
\(
50 — 50i.
\)
Для нахождения значения выражения
\(
i + 2i^2 + 3i^3 + \cdots + 100i^{100}
\)
начнём с определения последовательности значений \(i^n\):
\(
i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1
\)
После четвёртого значения последовательность повторяется, так что для \(n \equiv 0 \mod 4\) имеем \(i^n = 1\), для \(n \equiv 1 \mod 4\) имеем \(i^n = i\), для \(n \equiv 2 \mod 4\) имеем \(i^n = -1\), и для \(n \equiv 3 \mod 4\) имеем \(i^n = -i\).
Теперь разложим сумму:
\(
i + 2i^2 + 3i^3 + \cdots + 100i^{100}
\)
группируя слагаемые по остаткам от деления на 4:
— Члены с \(i^{4k+1}\) (где \(k = 0, 1, \ldots, 24\)):
\(
1i + 5i + 9i + \ldots + 97i
\)
— Члены с \(i^{4k+2}\) (где \(k = 0, 1, \ldots, 24\)):
\(
-2 — 6 — 10 — \ldots — 98
\)
— Члены с \(i^{4k+3}\) (где \(k = 0, 1, \ldots, 24\)):
\(
-3i — 7i — 11i — \ldots — 99i
\)
— Члены с \(i^{4k}\) (где \(k = 1, 2, \ldots, 25\)):
\(
4 + 8 + 12 + \ldots + 100
\)
Теперь посчитаем каждую из этих групп.
1. Для членов с \(i^{4k+1}\):
Числа: \(1, 5, 9, \ldots, 97\) образуют арифметическую прогрессию с первым членом \(1\) и разностью \(4\). Количество членов:
\(
n = \frac{97 — 1}{4} + 1 = 25
\)
Сумма:
\(
S_1 = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) = \frac{25}{2} (1 + 97) = \frac{25}{2} \cdot 98 = 1225
\)
Таким образом, сумма членов с \(i^{4k+1}\):
\(
1225i
\)
2. Для членов с \(i^{4k+2}\):
Числа: \(-2, -6, -10, \ldots, -98\). Количество членов:
\(
n = \frac{-98 — (-2)}{-4} + 1 = 25
\)
Сумма:
\(
S_2 = -\frac{25}{2} (2 + 98) = -\frac{25}{2} \cdot 100 = -1250
\)
3. Для членов с \(i^{4k+3}\):
Числа: \(-3, -7, -11, \ldots, -99\). Количество членов:
\(
n = \frac{-99 — (-3)}{-4} + 1 = 25
\)
Сумма:
\(
S_3 = -\frac{25}{2} (-3 + (-99)) = -\frac{25}{2} \cdot (-102) = 1275i
\)
4. Для членов с \(i^{4k}\):
Числа: \(4, 8, 12, \ldots, 100\). Количество членов:
\(
n = \frac{100 — 4}{4} + 1 = 25
\)
Сумма:
\(
S_4 = \frac{25}{2} (4 + 100) = \frac{25}{2} \cdot 104 = 1300
\)
Теперь объединим все результаты:
Общая сумма:
\(
(1225i + (-1250) + (1275i) + (1300))
= (1225i + 1275i) + (-1250 + 1300)
\)
\(
= (2500i) + (50)
= 50 + 2500i
\)
Итак, окончательный ответ:
Ответ:
\(
50 — 50i.
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.