ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.43 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите все комплексные числа, которые являются сопряжёнными своему квадрату.

Найти все комплексные числа, сопряжённые своему квадрату:

\(
\overline{z} = z^2;
\)

\(
a + bi = (a + bi)^2;
\)

\(
a — bi = a^2 + 2abi — b^2;
\)

\(
a — bi = (a^2 — b^2) + 2abi;
\)

1) Мнимая часть:
\(
-b = 2ab;
\)

\(
2a = -1, \quad b = 0;
\)

\(
a = -\frac{1}{2}, \quad b = 0;
\)

2) Первое значение:
\(
a = a^2 — b^2;
\)

\(
-\frac{1}{2} = \frac{1}{4} — b^2;
\)

\(
b^2 = \frac{3}{4}, \quad b = \pm \frac{\sqrt{3}}{2};
\)

3) Второе значение:
\(
a = a^2 — b^2;
\)

\(
a = a^2 — 0^2;
\)

\(
a^2 — a = 0;
\)

\(
a(a — 1) = 0;
\)

\(
a_1 = 0, \quad a_2 = 1;
\)

Ответ:
\(
0; \quad 1; \quad -\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i; \quad -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i.
\)

Рассмотрим задачу нахождения всех комплексных чисел \( z \), которые сопряжены своему квадрату, то есть удовлетворяют уравнению:

\(
\overline{z} = z^2
\)

Предположим, что \( z = a + bi \), где \( a \) и \( b \) — действительные числа. Тогда сопряжённое число будет:

\(
\overline{z} = a — bi
\)

Теперь подставим это в уравнение:

\(
a — bi = (a + bi)^2
\)

Раскроем квадрат в правой части:

\(
(a + bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = a^2 + 2abi — b^2
\)

Теперь уравнение принимает вид:

\(
a — bi = (a^2 — b^2) + 2abi
\)

Сравнивая действительные и мнимые части, получаем две системы уравнений:

1) Для действительной части:

\(
a = a^2 — b^2
\)

2) Для мнимой части:

\(
-b = 2ab
\)

Теперь решим каждую из этих частей.

Решение мнимой части

Рассмотрим уравнение:

\(
-b = 2ab
\)

Если \( b \neq 0 \), то можем разделить обе стороны на \( b \):

\(
-1 = 2a \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{1}{2}
\)

Если \( b = 0 \), то получаем \( a \) как свободный параметр. Теперь подставим \( a = -\frac{1}{2} \) в уравнение для действительной части:

Решение действительной части

Подставляем \( a = -\frac{1}{2} \):

\(
-\frac{1}{2} = a^2 — b^2
\)

Подставляем \( a = -\frac{1}{2} \):

\(
-\frac{1}{2} = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 — b^2
\)

Это даёт:

\(
-\frac{1}{2} = \frac{1}{4} — b^2
\)

Переносим \( b^2 \):

\(
b^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}
\)

Таким образом, получаем:

\(
b = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}
\)

Подведение итогов

Теперь у нас есть первое значение:

\(
z_1 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i
\)
и
\(
z_2 = -\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i
\)

Рассмотрим случай \( b = 0 \)

Если \( b = 0 \), то у нас остаётся только уравнение для действительной части:

\(
a = a^2 — 0^2
\)

Это уравнение можно переписать как:

\(
a^2 — a = 0
\)

Факторизуем:

\(
a(a — 1) = 0
\)

Таким образом, получаем два значения:

\(
a_1 = 0, \quad a_2 = 1
\)

Ответ

Соберём все найденные значения:

\(
0; \quad 1; \quad -\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} i; \quad -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i.
\)