ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.44 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что если

\(
z = x + yi = (a + bi)^n, \text{ то } x^2 + y^2 = (a^2 + b^2)^n.
\)

Доказать, что верно равенство:

\(
x + yi = (a + bi)^n;
\)

\(
z_1 = z_2^n;
\)

\(
|z_1| = |z_2|^n;
\)

\(
|x + yi| = |a + bi|^n;
\)

\(
\sqrt{x^2 + y^2} = \left(\sqrt{a^2 + b^2}\right)^n;
\)

\(
x^2 + y^2 = (a^2 + b^2)^n;
\)

Что и требовалось доказать.

Давайте подробно разберём доказательство равенства:

\(
x + yi = (a + bi)^n
\)

где \( z_1 = x + yi \) и \( z_2 = a + bi \).

Сначала вспомним, что модуль комплексного числа \( z \) определяется как:

\(
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\)

Для комплексных чисел мы знаем, что их модуль при возведении в степень \( n \) подчиняется следующему правилу:

\(
|z_1| = |z_2|^n
\)

Теперь подставим \( z_1 \) и \( z_2 \):

\(
|x + yi| = |a + bi|^n
\)

По определению модуля имеем:

\(
\sqrt{x^2 + y^2} = \left(\sqrt{a^2 + b^2}\right)^n
\)

Теперь возведём обе стороны в квадрат:

\(
x^2 + y^2 = \left(\sqrt{a^2 + b^2}\right)^{2n}
\)

Так как \( \left(\sqrt{a^2 + b^2}\right)^{2} = a^2 + b^2 \), то получаем:

\(
x^2 + y^2 = (a^2 + b^2)^n
\)

Таким образом, мы доказали, что:

\(
x^2 + y^2 = (a^2 + b^2)^n
\)

Что и требовалось доказать.