Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.45 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите, что
\(
\text{Если } z = x + yi = (a + bi)^n, \text{ то } \overline{z} = x — yi = (a — bi)^n.
\)
Доказать, что верно равенство:
\(
x + yi = (a + bi)^n;
\)
\(
z_1 = z_2^n;
\)
\(
|z_1| = |z_2|^n;
\)
\(
|x + yi| = |a + bi|^n;
\)
\(
\sqrt{x^2 + y^2} = \left(\sqrt{a^2 + b^2}\right)^n;
\)
\(
x^2 + y^2 = (a^2 + b^2)^n;
\)
\(
(x + yi)(x — yi) = (a + bi)^n (a — bi)^n;
\)
\(
\frac{x — yi}{x + yi} = \frac{(a + bi)^n}{(a + bi)^n} = 1;
\)
\(
x — yi = (a — bi)^n;
\)
Что и требовалось доказать.
Давайте подробно разберём доказательство равенства:
\(
x + yi = (a + bi)^n
\)
где \( z_1 = x + yi \) и \( z_2 = a + bi \).
Сначала вспомним, что модуль комплексного числа \( z \) определяется как:
\(
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\)
Для комплексных чисел мы знаем, что их модуль при возведении в степень \( n \) подчиняется следующему правилу:
\(
|z_1| = |z_2|^n
\)
Теперь подставим \( z_1 \) и \( z_2 \):
\(
|x + yi| = |a + bi|^n
\)
По определению модуля имеем:
\(
\sqrt{x^2 + y^2} = \left(\sqrt{a^2 + b^2}\right)^n
\)
Теперь возведём обе стороны в квадрат:
\(
x^2 + y^2 = \left(\sqrt{a^2 + b^2}\right)^{2n}
\)
Так как \( \left(\sqrt{a^2 + b^2}\right)^{2} = a^2 + b^2 \), то получаем:
\(
x^2 + y^2 = (a^2 + b^2)^n
\)
Теперь рассмотрим произведение двух комплексных чисел:
\(
(x + yi)(x — yi) = (a + bi)^n (a — bi)^n
\)
Согласно свойствам комплексных чисел, это выражение можно упростить:
\(
x^2 + y^2 = |a + bi|^{2n}
\)
Так как модуль \( |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2} \), то:
\(
x^2 + y^2 = (a^2 + b^2)^n
\)
Теперь рассмотрим выражение:
\(
\frac{x — yi}{x + yi}
\)
Это выражение можно упростить до:
\(
\frac{(a + bi)^n}{(a + bi)^n} = 1
\)
Таким образом, получаем:
\(
x — yi = (a — bi)^n
\)
Что и требовалось доказать.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.