ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 13.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите действительные числа х и у из равенства:

\(
\begin{align*}
1) & \quad 5x — 7yi = 2 + 3i; \\
2) & \quad 6x — y^2 i = -1 — 4i; \\
3) & \quad (x + 3y^2 i) — (2y — xi) = 1 + 6i.
\end{align*}
\)

Найти числа \(x\) и \(y\):

1)
\(
5x — 7y i = 2 + 3i;
\)
\(
5x = 2, \quad x = \frac{2}{5};
\)
\(
-7y = 3, \quad y = -\frac{3}{7};
\)
Ответ: \(\left(\frac{2}{5}; -\frac{3}{7}\right)\).

2)
\(
6x — y^2 i = -1 — 4i;
\)
\(
6x = -1, \quad x = -\frac{1}{6};
\)
\(
-y^2 = -4, \quad y = \pm 2;
\)
Ответ: \(\left(-\frac{1}{6}; -2\right); \quad \left(-\frac{1}{6}; 2\right)\).

3)
\(
(x + 3 y^2 i) — (2y — x i) = 1 + 6i;
\)
\(
(x — 2y) + (3 y^2 + x) i = 1 + 6i;
\)
\(
x — 2y = 1, \quad x = 1 + 2y;
\)
\(
3 y^2 + x = 6;
\)
\(
3 y^2 + 1 + 2y = 6;
\)
\(
3 y^2 + 2 y — 5 = 0;
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 \cdot 5 = 4 + 60 = 64,
\)
тогда:
\(
y_1 = \frac{-2 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}, \quad y_2 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1;
\)
\(
x_1 = 1 + 2 y_1 = 1 + 2 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = 1 — \frac{10}{3} = -\frac{7}{3},
\)
\(
x_2 = 1 + 2 y_2 = 1 + 2 \cdot 1 = 3;
\)
Ответ: \(\left(-\frac{7}{3}; -\frac{5}{3}\right); \quad (3; 1)\).

Найти числа \(x\) и \(y\):

1)
Для уравнения:
\(
5x — 7y i = 2 + 3i.
\)
Сравнивая действительные и мнимые части, получаем:
\(
5x = 2, \quad x = \frac{2}{5},
\)
\(
-7y = 3, \quad y = -\frac{3}{7}.
\)
Ответ: \(\left(\frac{2}{5}; -\frac{3}{7}\right)\).

2)
Для уравнения:
\(
6x — y^2 i = -1 — 4i.
\)
Сравнивая действительные и мнимые части, получаем:
\(
6x = -1, \quad x = -\frac{1}{6},
\)
\(
-y^2 = -4, \quad y^2 = 4 — y = \pm 2.
\)
Ответ: \(\left(-\frac{1}{6}; -2\right); \quad \left(-\frac{1}{6}; 2\right)\).

3)
Для уравнения:
\(
(x + 3 y^2 i) — (2y — x i) = 1 + 6i.
\)
Сравнивая действительные и мнимые части, получаем:
\(
(x — 2y) + (3 y^2 + x) i = 1 + 6i.
\)
Таким образом, мы имеем две системы уравнений:
\(
x — 2y = 1,
\)
\(
3 y^2 + x = 6.
\)
Из первого уравнения выразим \(x\):
\(
x = 1 + 2y.
\)
Подставим это значение во второе уравнение:
\(
3 y^2 + (1 + 2y) = 6.
\)
Упрощаем уравнение:
\(
3 y^2 + 1 + 2y = 6,
\)
\(
3 y^2 + 2y — 5 = 0.
\)
Теперь найдем дискриминант:
\(
D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64.
\)
Решим квадратное уравнение:
\(
y_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3},
\)
\(
y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1.
\)
Теперь найдем соответствующие значения \(x_1\) и \(x_2\):
\(
x_1 = 1 + 2y_1 = 1 + 2 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = 1 — \frac{10}{3} = -\frac{7}{3},
\)
\(
x_2 = 1 + 2y_2 = 1 + 2 \cdot 1 = 3.
\)
Ответ: \(\left(-\frac{7}{3}; -\frac{5}{3}\right); \quad (3; 1)\).