ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 14.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Запишите в тригонометрической форме комплексное число:}
\)

1) \( 7 \)
2) \( 4i \)
3) \( -2 + 2i \)
4) \( \sqrt{3} + i \)
5) \( -1 + 2i \)
6) \( -3 — i \)
7) \( (3 — 2i)^2 \)
8) \( \frac{2 + i}{1 + i} \)

1) \(7;\)
\(
r = \sqrt{7^2 + 0^2} = \sqrt{49} = 7;
\)
\(
\cos \varphi = \frac{7}{7} = 1, \quad \sin \varphi = \frac{0}{7} = 0;
\)
\(
\varphi = 2 \pi k;
\)
\(
z = 7 \left(\cos 2 \pi + i \sin 2 \pi \right);
\)

2) \(4i;\)
\(
r = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4;
\)
\(
\cos \varphi = \frac{0}{4} = 0, \quad \sin \varphi = \frac{4}{4} = 1;
\)
\(
\varphi = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k;
\)
\(
z = 4 \left(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\right);
\)

3) \(-2 + 2i;\)
\(
r = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2};
\)
\(
\cos \varphi = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{\sqrt{2}}{2};
\)
\(
\varphi = \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi k;
\)
\(
z = 2 \sqrt{2} \left(\cos \frac{3 \pi}{4} + i \sin \frac{3 \pi}{4}\right);
\)

4) \(\sqrt{3} + i;\)
\(
r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2;
\)
\(
\cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{1}{2};
\)
\(
\varphi = \frac{\pi}{6} + 2 \pi k;
\)
\(
z = 2 \left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right);
\)

5) \(-1 + 2i;\)
\(
r = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5};
\)
\(
\cos \varphi = -\frac{\sqrt{5}}{5}, \quad \sin \varphi = \frac{2 \sqrt{5}}{5};
\)
\(
\varphi = \arccos \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) + 2 \pi k;
\)
\(
z = \sqrt{5} \left(\cos \left(\arccos \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)\right) + i \sin \left(\arccos \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)\right)\right);
\)

6) \( \sqrt{3} + i \)
\(
r = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10};
\)
\(
\cos \varphi = \frac{3}{\sqrt{10}}, \quad \sin \varphi = -\frac{\sqrt{10}}{10};
\)

\(
\varphi = \pi — \arcsin \left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right) + 2 \pi k;
\)
\(
z = \sqrt{10} \left(\cos \left(\pi — \arcsin \left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right)\right) + i \sin \left(\pi — \arcsin \left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right)\right)\right);
\)

7) \((3 — 2i)^2 = 9 — 12i — 4 = 5 — 12i;\)
\(
r = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13;
\)
\(
\cos \varphi = \frac{5}{13}, \quad \sin \varphi = -\frac{12}{13};
\)
\(
\varphi = \arcsin \left(-\frac{12}{13}\right) + 2 \pi k;
\)
\(
z = 13 \left(\cos \left(\arcsin \left(-\frac{12}{13}\right)\right) + i \sin \left(\arcsin \left(-\frac{12}{13}\right)\right)\right);
\)

8)
\(
\frac{2 + i}{1 + i} = \frac{(2 + i)(1 — i)}{1 + 1} = \frac{2 — 2i + i + 1}{2} = \frac{3}{2} — \frac{1}{2} i;
\)
\(
r = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{10}{4}} = \frac{\sqrt{10}}{2};
\)
\(
\cos \varphi = \frac{3}{\sqrt{10}}, \quad \sin \varphi = -\frac{1}{\sqrt{10}};
\)
\(
\varphi = \arcsin \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) + 2 \pi k;
\)
\(
z = \frac{\sqrt{10}}{2} \left(\cos \left(\arcsin \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\right) + i \sin \left(\arcsin \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\right)\right);
\)

1) Для комплексного числа \(7\):
Это число можно представить в виде \(z = 7 + 0i\).
Сначала находим модуль \(r\):

\(
r = \sqrt{7^2 + 0^2} = \sqrt{49 + 0} = \sqrt{49} = 7.
\)

Теперь находим косинус и синус аргумента:

\(
\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{7}{7} = 1, \quad \sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{0}{7} = 0.
\)

Аргумент \(\varphi\) определяется как:

\(
\varphi = 2 \pi k,
\)

где \(k\) — любое целое число. Это связано с тем, что косинус и синус равны 1 и 0 соответственно, что соответствует углу \(2\pi\) (или любому его кратному).

Теперь можем записать комплексное число в тригонометрической форме:

\(
z = r \left(\cos \varphi + i \sin \varphi\right).
\)

Подставляя найденные значения, получаем:

\(
z = 7 \left(\cos 2 \pi + i \sin 2 \pi \right).
\)

2) Для комплексного числа \(4i\):
Это число можно представить в виде \(z = 0 + 4i\).
Сначала находим модуль \(r\):

\(
r = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{0 + 16} = \sqrt{16} = 4.
\)

Теперь находим косинус и синус аргумента:

\(
\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{0}{4} = 0, \quad \sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{4}{4} = 1.
\)

Аргумент \(\varphi\) определяется как:

\(
\varphi = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k,
\)

где \(k\) — любое целое число. Это связано с тем, что косинус равен 0, а синус равен 1, что соответствует углу \(\frac{\pi}{2}\) (или любому его кратному).

Теперь можем записать комплексное число в тригонометрической форме:

\(
z = r \left(\cos \varphi + i \sin \varphi\right).
\)

Подставляя найденные значения, получаем:

\(
z = 4 \left(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\right).
\)

3) Для комплексного числа \(-2 + 2i\):
Это число можно представить в виде \(z = -2 + 2i\).
Сначала находим модуль \(r\):

\(
r = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}.
\)

Теперь находим косинус и синус аргумента:

\(
\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{-2}{2 \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{2}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.
\)

Аргумент \(\varphi\) определяется как:

\(
\varphi = \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi k,
\)

где \(k\) — любое целое число. Это связано с тем, что косинус равен \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\), а синус равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), что соответствует углу \(\frac{3\pi}{4}\) (или любому его кратному).

Теперь можем записать комплексное число в тригонометрической форме:

\(
z = r \left(\cos \varphi + i \sin \varphi\right).
\)

Подставляя найденные значения, получаем:

\(
z = 2 \sqrt{2} \left(\cos \frac{3 \pi}{4} + i \sin \frac{3 \pi}{4}\right).
\)

4) Для комплексного числа \(\sqrt{3} + i\):
Это число можно представить в виде \(z = \sqrt{3} + 1i\).
Сначала находим модуль \(r\):

\(
r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2.
\)

Теперь находим косинус и синус аргумента:

\(
\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{1}{2}.
\)

Аргумент \(\varphi\) определяется как:

\(
\varphi = \frac{\pi}{6} + 2 \pi k,
\)

где \(k\) — любое целое число. Это связано с тем, что косинус равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), а синус равен \(\frac{1}{2}\), что соответствует углу \(\frac{\pi}{6}\) (или любому его кратному).

Теперь можем записать комплексное число в тригонометрической форме:

\(
z = r \left(\cos \varphi + i \sin \varphi\right).
\)

Подставляя найденные значения, получаем:

\(
z = 2 \left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right).
\)

5) Для комплексного числа \(-1 + 2i\):
Это число можно представить в виде \(z = -1 + 2i\).
Сначала находим модуль \(r\):

\(
r = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}.
\)

Теперь находим косинус и синус аргумента:

\(
\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{-1}{\sqrt{5}}, \quad \sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{2}{\sqrt{5}}.
\)

Чтобы найти угол \(\varphi\), используем арккосинус:

\(
\varphi = \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) + 2 \pi k,
\)

где \(k\) — любое целое число. Это связано с тем, что косинус равен \(-\frac{1}{\sqrt{5}}\) и синус равен \(\frac{2}{\sqrt{5}}\). Для нахождения угла можно также использовать арктангенс:

\(
\varphi = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) = \arctan\left(\frac{2}{-1}\right).
\)

Теперь можем записать комплексное число в тригонометрической форме:

\(
z = r \left(\cos \varphi + i \sin \varphi\right).
\)

Подставляя найденные значения, получаем:

\(
z = \sqrt{5} \left(\cos\left(\arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\right) + i \sin\left(\arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\right)\right).
\)

6) Для комплексного числа \(\sqrt{3} + i\):
Это число можно представить в виде \(z = \sqrt{3} + 1i\).
Сначала находим модуль \(r\):

\(
r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = \sqrt{10}.
\)

Теперь находим косинус и синус аргумента:

\(
\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}, \quad \sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{1}{\sqrt{10}}.
\)

Так как синус положителен, а косинус также положителен, это указывает на то, что угол \(\varphi\) находится в первой четверти.

Аргумент \(\varphi\) можно найти следующим образом:

\(
\varphi = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right).
\)

Однако, в данном случае мы используем другую формулу для нахождения угла:

\(
\varphi = \pi — \arcsin\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) + 2 \pi k,
\)

где \(k\) — любое целое число. Это связано с тем, что синус равен \(-\frac{1}{\sqrt{10}}\).

Теперь можем записать комплексное число в тригонометрической форме:

\(
z = r \left(\cos \varphi + i \sin \varphi\right).
\)

Подставляя найденные значения, получаем:

\(
z = \frac{\sqrt{10}}{2} \left(\cos\left(\pi — \arcsin\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\right) + i \sin\left(\pi — \arcsin\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\right)\right).
\)

7) Для комплексного числа \((3 — 2i)^2\):
Сначала вычислим квадрат числа:

\(
(3 — 2i)^2 = 3^2 — 2 \cdot 3 \cdot 2i + (2i)^2 = 9 — 12i — 4 = 5 — 12i.
\)

Теперь найдем модуль \(r\) для числа \(5 — 12i\):

\(
r = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13.
\)

Теперь находим косинус и синус аргумента:

\(
\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{5}{13}, \quad \sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{-12}{13}.
\)

Так как косинус положителен, а синус отрицателен, это указывает на то, что угол \(\varphi\) находится в четвертой четверти.

Аргумент \(\varphi\) можно найти следующим образом:

\(
\varphi = \arcsin\left(-\frac{12}{13}\right) + 2 \pi k,
\)

где \(k\) — любое целое число. Это связано с тем, что синус равен \(-\frac{12}{13}\).

Теперь можем записать комплексное число в тригонометрической форме:

\(
z = r \left(\cos \varphi + i \sin \varphi\right).
\)

Подставляя найденные значения, получаем:

\(
z = 13 \left(\cos\left(\arcsin\left(-\frac{12}{13}\right)\right) + i \sin\left(\arcsin\left(-\frac{12}{13}\right)\right)\right).
\)

8) Рассмотрим выражение:

\(
\frac{2 + i}{1 + i}.
\)

Для упрощения умножим числитель и знаменатель на сопряженное значение знаменателя:

\(
\frac{(2 + i)(1 — i)}{(1 + i)(1 — i)} = \frac{(2 + i)(1 — i)}{1 + 1} = \frac{(2 \cdot 1 — 2 \cdot i + i \cdot 1 — i^2)}{2}.
\)

Учитывая, что \(i^2 = -1\), получаем:

\(
= \frac{2 — 2i + i + 1}{2} = \frac{3 — i}{2} = \frac{3}{2} — \frac{1}{2} i.
\)

Теперь найдем модуль \(r\) для числа \(\frac{3}{2} — \frac{1}{2} i\):

\(
r = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{10}{4}} = \frac{\sqrt{10}}{2}.
\)

Теперь находим косинус и синус аргумента:

\(
\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{2}} = \frac{3}{\sqrt{10}}, \quad \sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{10}}.
\)

Аргумент \(\varphi\) можно найти следующим образом:

\(
\varphi = \arcsin\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) + 2 \pi k,
\)

где \(k\) — любое целое число. Это связано с тем, что синус равен \(-\frac{1}{\sqrt{10}}\).

Теперь можем записать комплексное число в тригонометрической форме:

\(
z = r \left(\cos \varphi + i \sin \varphi\right).
\)

Подставляя найденные значения, получаем:

\(
z = \frac{\sqrt{10}}{2} \left(\cos\left(\arcsin\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\right) + i \sin\left(\arcsin\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\right)\right).
\)