Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 14.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Запишите в тригонометрической форме комплексные числа:
1) \(-3\);
2) \(-5i\);
3) \(-3 + 3i\);
4) \(-1 + \sqrt{3}i\);
5) \(2 — i\);
6) \(-2 — 3i\);
7) \((1 + 3i)^2\);
8) \(\frac{3 — i}{1 — i}\).
1) \(-3;\)
\(
r = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3;
\)
\(
\cos \varphi = \frac{-3}{3} = -1, \quad \sin \varphi = \frac{0}{3} = 0;
\)
\(
\varphi = \pi + 2 \pi k;
\)
\(
z = 3 \left(\cos \pi + i \sin \pi \right);
\)
2) \(-5i;\)
\(
r = \sqrt{0^2 + 5^2} = \sqrt{25} = 5;
\)
\(
\cos \varphi = \frac{0}{5} = 0, \quad \sin \varphi = \frac{-5}{5} = -1;
\)
\(
\varphi = \frac{3 \pi}{2} + 2 \pi k;
\)
\(
z = 5 \left(\cos \frac{3 \pi}{2} + i \sin \frac{3 \pi}{2}\right);
\)
3) \(-3 + 3i;\)
\(
r = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2};
\)
\(
\cos \varphi = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{\sqrt{2}}{2};
\)
\(
\varphi = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k;
\)
\(
z = 3 \sqrt{2} \left(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4}\right);
\)
4) \(-1 + \sqrt{3}i;\)
\(
r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2;
\)
\(
\cos \varphi = -\frac{1}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2};
\)
\(
\varphi = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k;
\)
\(
z = 2 \left(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}\right);
\)
5) \(2 — i;\)
\(
r = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5};
\)
\(
\cos \varphi = \frac{2\sqrt{5}}{5}, \quad \sin \varphi = -\frac{\sqrt{5}}{5};
\)
\(
\varphi = \arcsin \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) + 2\pi k;
\)
\(
z = \sqrt{5} \left(\cos \left(\arcsin \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)\right) + i \sin \left(\arcsin \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)\right)\right);
\)
6) \(-2 — 3i;\)
\(
r = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13};
\)
\(
\cos \varphi = -\frac{2\sqrt{13}}{13}, \quad \sin \varphi = -\frac{3\sqrt{13}}{13};
\)
\(
\varphi = \pi — \arcsin \left(-\frac{3 \sqrt{13}}{13}\right) + 2\pi k;
\)
\(
z = \sqrt{13} \left(\cos \left(\pi — \arcsin \left(-\frac{3 \sqrt{13}}{13}\right)\right) + i \sin \left(\pi — \arcsin \left(-\frac{3 \sqrt{13}}{13}\right)\right)\right);
\)
7) \((1 + 3i)^2 = 1 + 6i — 9 = -8 + 6i;\)
\(
r = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10;
\)
\(
\cos \varphi = -\frac{4}{5}, \quad \sin \varphi = \frac{3}{5};
\)
\(
\varphi = \arccos \left(-\frac{4}{5}\right) + 2\pi k;
\)
\(
z = 10 \left(\cos \left(\arccos \left(-\frac{4}{5}\right)\right) + i \sin \left(\arccos \left(-\frac{4}{5}\right)\right)\right);
\)
8)
\(
\frac{3 — i}{1 — i} = \frac{(3 — i)(1 + i)}{1 + 1} = \frac{3 + 3i — i + 1}{2} = 2 + i;
\)
\(
r = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5};
\)
\(
\cos \varphi = \frac{2\sqrt{5}}{5}, \quad \sin \varphi = \frac{\sqrt{5}}{5};
\)
\(
\varphi = \arccos \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right) + 2\pi k;
\)
\(
z = \sqrt{5} \left(\cos \left(\arccos \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)\right) + i \sin \left(\arccos \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)\right)\right);
\)
1) Комплексное число: \(-3\).
Вычисляем модуль:
\(
r = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3;
\)
Находим косинус и синус аргумента:
\(
\cos \varphi = \frac{-3}{3} = -1, \quad \sin \varphi = \frac{0}{3} = 0;
\)
Аргумент комплексного числа равен:
\(
\varphi = \pi + 2 \pi k, \quad k \in \mathbb{Z};
\)
Тригонометрическая форма числа:
\(
z = 3 \left(\cos \pi + i \sin \pi \right);
\)
2) Комплексное число: \(-5i\).
Вычисляем модуль:
\(
r = \sqrt{0^2 + (-5)^2} = \sqrt{25} = 5;
\)
Косинус и синус аргумента:
\(
\cos \varphi = \frac{0}{5} = 0, \quad \sin \varphi = \frac{-5}{5} = -1;
\)
Аргумент:
\(
\varphi = \frac{3 \pi}{2} + 2 \pi k, \quad k \in \mathbb{Z};
\)
Тригонометрическая форма:
\(
z = 5 \left(\cos \frac{3 \pi}{2} + i \sin \frac{3 \pi}{2}\right);
\)
3) Комплексное число: \(-3 + 3i\).
Вычисляем модуль:
\(
r = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2};
\)
Косинус аргумента:
\(
\cos \varphi = \frac{-3}{3 \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2};
\)
Синус аргумента:
\(
\sin \varphi = \frac{3}{3 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2};
\)
Аргумент:
\(
\varphi = \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi k, \quad k \in \mathbb{Z};
\)
Тригонометрическая форма:
\(
z = 3 \sqrt{2} \left(\cos \frac{3 \pi}{4} + i \sin \frac{3 \pi}{4}\right);
\)
4) Комплексное число: \(-1 + \sqrt{3} i\).
Вычисляем модуль:
\(
r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2;
\)
Косинус аргумента:
\(
\cos \varphi = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2};
\)
Синус аргумента:
\(
\sin \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2};
\)
Аргумент:
\(
\varphi = \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi k, \quad k \in \mathbb{Z};
\)
Тригонометрическая форма:
\(
z = 2 \left(\cos \frac{2 \pi}{3} + i \sin \frac{2 \pi}{3}\right);
\)
5) Комплексное число: \(2 — i\).
Вычисляем модуль:
\(
r = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5};
\)
Косинус аргумента:
\(
\cos \varphi = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5};
\)
Синус аргумента:
\(
\sin \varphi = \frac{-1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5};
\)
Аргумент:
\(
\varphi = \arcsin \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) + 2 \pi k, \quad k \in \mathbb{Z};
\)
Тригонометрическая форма:
\(
z = \sqrt{5} \left(\cos \left(\arcsin \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)\right) + i \sin \left(\arcsin \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)\right)\right);
\)
6) Комплексное число: \(-2 — 3i\).
Вычисляем модуль:
\(
r = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13};
\)
Косинус аргумента:
\(
\cos \varphi = \frac{-2}{\sqrt{13}} = -\frac{2 \sqrt{13}}{13};
\)
Синус аргумента:
\(
\sin \varphi = \frac{-3}{\sqrt{13}} = -\frac{3 \sqrt{13}}{13};
\)
Аргумент можно выразить как:
\(
\varphi = \pi — \arcsin \left(-\frac{3 \sqrt{13}}{13}\right) + 2 \pi k, \quad k \in \mathbb{Z};
\)
Тригонометрическая форма:
\(
z = \sqrt{13} \left(\cos \left(\pi — \arcsin \left(-\frac{3 \sqrt{13}}{13}\right)\right) + i \sin \left(\pi — \arcsin \left(-\frac{3 \sqrt{13}}{13}\right)\right)\right);
\)
7) Комплексное число: \((1 + 3i)^2\).
Раскрываем скобки:
\(
(1 + 3i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 3i + (3i)^2 = 1 + 6i + 9 i^2 = 1 + 6i — 9 = -8 + 6i;
\)
Вычисляем модуль:
\(
r = \sqrt{(-8)^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10;
\)
Косинус аргумента:
\(
\cos \varphi = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5};
\)
Синус аргумента:
\(
\sin \varphi = \frac{6}{10} = \frac{3}{5};
\)
Аргумент:
\(
\varphi = \arccos \left(-\frac{4}{5}\right) + 2 \pi k, \quad k \in \mathbb{Z};
\)
Тригонометрическая форма:
\(
z = 10 \left(\cos \left(\arccos \left(-\frac{4}{5}\right)\right) + i \sin \left(\arccos \left(-\frac{4}{5}\right)\right)\right);
\)
8) Комплексное число: \(\frac{3 — i}{1 — i}\).
Домножаем числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателя:
\(
\frac{3 — i}{1 — i} = \frac{(3 — i)(1 + i)}{(1 — i)(1 + i)} = \frac{3 + 3i — i — i^2}{1 + 1} = \frac{3 + 3i — i + 1}{2} = \frac{4 + 2i}{2} = 2 + i;
\)
Вычисляем модуль:
\(
r = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5};
\)
Косинус аргумента:
\(
\cos \varphi = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5};
\)
Синус аргумента:
\(
\sin \varphi = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5};
\)
Аргумент:
\(
\varphi = \arccos \left(\frac{2 \sqrt{5}}{5}\right) + 2 \pi k, \quad k \in \mathbb{Z};
\)
Тригонометрическая форма:
\(
z = \sqrt{5} \left(\cos \left(\arccos \left(\frac{2 \sqrt{5}}{5}\right)\right) + i \sin \left(\arccos \left(\frac{2 \sqrt{5}}{5}\right)\right)\right);
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.