ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 14.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Если } \varphi \text{ является аргументом комплексного числа } z, \text{ то } -\varphi
\)
\(
\text{ является аргументом комплексного числа } z.
\)

Дано комплексное число \(z\):

1) Запишем число \(z\):
\(
z(\varphi) = r(\cos \varphi + i \sin \varphi); \quad z(\varphi) = r \cos \varphi + i r \sin \varphi = z;
\)

2) Запишем число \(z(-\varphi)\):
\(
z(-\varphi) = r \cos(-\varphi) + i r \sin(-\varphi); \quad z(-\varphi) = r \cos \varphi — i r \sin \varphi = \overline{z};
\)

Что и требовалось доказать.

Дано комплексное число \(z\):

1) Запишем число \(z\):

Комплексное число можно выразить в тригонометрической форме как:

\(
z(\varphi) = r(\cos \varphi + i \sin \varphi,
\)

где \(r\) — модуль числа, а \(\varphi\) — аргумент (угол) числа.

Также можно записать это в более развернутом виде:

\(
z(\varphi) = r \cos \varphi + i r \sin \varphi = z.
\)

Это означает, что \(z\) может быть представлено как сумма действительной и мнимой частей.

2) Запишем число \(z(-\varphi)\):

Теперь рассмотрим комплексное число с отрицательным аргументом:

\(
z(-\varphi) = r \cos(-\varphi) + i r \sin(-\varphi).
\)

Используя свойства тригонометрических функций, мы знаем, что:

\(
\cos(-\varphi) = \cos \varphi,
\)
\(
\sin(-\varphi) = -\sin \varphi.
\)

Таким образом, подставляя эти значения, получаем:

\(
z(-\varphi) = r \cos \varphi — i r \sin \varphi.
\)

Это выражение соответствует комплексному сопряжению числа \(z\):

\(
z(-\varphi) = \overline{z}.
\)

Что и требовалось доказать.