ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 14.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Если } \varphi \text{ — аргумент комплексного числа } z, \text{ то } -\varphi \text{ — аргумент комплексного числа }
\)
\(
\frac{1}{z}.
\)

Дано комплексное число \(z\):

1) Запишем число \(z\):
\(
z(\varphi) = r(\cos \varphi + i \sin \varphi); \quad z(\varphi) = r \cos \varphi + i r \sin \varphi = z;
\)
\(
\cos \varphi = \frac{a}{r}, \quad \sin \varphi = \frac{b}{r};
\)
\(
r = \sqrt{a^2 + b^2};
\)

2) Запишем число \(z(-\varphi)\):
\(
z(-\varphi) = r \cos(-\varphi) + i r \sin(-\varphi); \quad z(-\varphi) = r \cos \varphi — i r \sin \varphi = \overline{z};
\)
\(
\cos(-\varphi) = \frac{a}{r}, \quad \sin(-\varphi) = -\frac{b}{r};
\)

3) Докажем равенство:
\(
\frac{1}{a + bi} = \frac{a — bi}{a^2 + b^2} = \frac{a}{r^2} — \frac{b}{r^2} i;
\)
\(
r_0 = \sqrt{\frac{a^2}{r^2} + \frac{b^2}{r^2}} = \sqrt{\frac{r^2}{r^2}} = 1;
\)
\(
\cos \theta = \frac{a}{r}, \quad \sin \theta = -\frac{b}{r}, \quad \theta = -\varphi;
\)

Что и требовалось доказать.

Дано комплексное число \(z\):

1) Запишем число \(z\):

Комплексное число можно выразить в тригонометрической форме как:

\(
z(\varphi) = r(\cos \varphi + i \sin \varphi,
\)

где \(r\) — модуль числа, а \(\varphi\) — аргумент (угол) числа.

Также можно записать это в более развернутом виде:

\(
z(\varphi) = r \cos \varphi + i r \sin \varphi = z.
\)

Далее, используя определение косинуса и синуса, получаем:

\(
\cos \varphi = \frac{a}{r}, \quad \sin \varphi = \frac{b}{r},
\)

где \(a\) и \(b\) — действительная и мнимая части числа \(z\), соответственно.

Модуль \(r\) числа \(z\) можно найти по формуле:

\(
r = \sqrt{a^2 + b^2}.
\)

2) Запишем число \(z(-\varphi)\):

Теперь рассмотрим комплексное число с отрицательным аргументом:

\(
z(-\varphi) = r \cos(-\varphi) + i r \sin(-\varphi).
\)

Используя свойства тригонометрических функций, мы знаем, что:

\(
\cos(-\varphi) = \cos \varphi,
\)
\(
\sin(-\varphi) = -\sin \varphi.
\)

Таким образом, подставляя эти значения, получаем:

\(
z(-\varphi) = r \cos \varphi — i r \sin \varphi.
\)

Это выражение соответствует комплексному сопряжению числа \(z\):

\(
z(-\varphi) = \overline{z}.
\)

Также можно выразить косинус и синус для отрицательного угла:

\(
\cos(-\varphi) = \frac{a}{r}, \quad \sin(-\varphi) = -\frac{b}{r}.
\)

3) Докажем равенство:

Теперь рассмотрим обратное комплексное число:

\(
\frac{1}{a + bi} = \frac{a — bi}{a^2 + b^2}.
\)

Умножая числитель и знаменатель на сопряженное число \(a — bi\), мы получаем:

\(
= \frac{a}{a^2 + b^2} — \frac{b}{a^2 + b^2} i.
\)

Поскольку модуль \(r^2 = a^2 + b^2\), можно записать:

\(
= \frac{a}{r^2} — \frac{b}{r^2} i.
\)

Теперь найдем модуль нового числа \(r_0\):

\(
r_0 = \sqrt{\frac{a^2}{r^2} + \frac{b^2}{r^2}} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{r^2}} = \sqrt{\frac{r^2}{r^2}} = 1.
\)

Теперь выразим косинус и синус для угла \(\theta\):

\(
\cos \theta = \frac{a}{r}, \quad \sin \theta = -\frac{b}{r}, \quad \theta = -\varphi.
\)

Таким образом, мы доказали все необходимые равенства.

Что и требовалось доказать.