ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 14.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите комплексную координату точки \( C \) на отрезке \( AB \), такой что отношение отрезков \( AC \) и \( CB \) равно \( \frac{AC}{CB} = \frac{m}{n} \), где \( A(z_1) \) и \( B(z_2) \) — комплексные координаты точек \( A \) и \( B \) соответственно.

На плоскости отметили точки:
\(A(z_1)\) и \(B(z_2)\);

1) Найдем вектор \(\overrightarrow{AB}\):
\(
\overrightarrow{AB} = z_2 — z_1;
\)

2) Частное \(m\) от \(n\) вектора \(\overrightarrow{AB}\):
\(
\frac{m}{m+n} \overrightarrow{AB} = \frac{m z_2 — m z_1}{m+n};
\)

3) Координаты этой точки \(\overrightarrow{AB}\):
\(
O = \vec{A} + \frac{m}{m+n} \overrightarrow{AB};
\)
\(
O = z_1 + \frac{m z_2 — m z_1}{m+n} = \frac{n z_1 + m z_2}{m+n};
\)

Ответ:
\(
\frac{n z_1 + m z_2}{m+n}.
\)

На плоскости отметили точки: \(A(z_1)\) и \(B(z_2)\).

1) Для начала найдем вектор \(\overrightarrow{AB}\). Вектор \(\overrightarrow{AB}\) определяется как разность координат точки B и точки A. Это можно записать следующим образом:

\(
\overrightarrow{AB} = z_2 — z_1;
\)

2) Далее, мы хотим найти частное \(m\) от \(n\) вектора \(\overrightarrow{AB}\). Это означает, что мы будем делить вектор на сумму \(m+n\) и умножать на \(m\). Мы можем записать это как:

\(
\frac{m}{m+n} \overrightarrow{AB} = \frac{m (z_2 — z_1)}{m+n} = \frac{m z_2 — m z_1}{m+n};
\)

3) Теперь мы можем найти координаты точки O, которая делит отрезок \(\overrightarrow{AB}\) в отношении \(m:n\). Сначала выразим O через A и часть вектора \(\overrightarrow{AB}\):

\(
O = \vec{A} + \frac{m}{m+n} \overrightarrow{AB};
\)

Подставляя значение вектора \(\overrightarrow{AB}\), получаем:

\(
O = z_1 + \frac{m (z_2 — z_1)}{m+n}.
\)

Упрощая это выражение, мы можем записать:

\(
O = z_1 + \frac{m z_2 — m z_1}{m+n}.
\)

Соберем все под одной дробью:

\(
O = \frac{(m+n) z_1 + m z_2 — m z_1}{m+n} = \frac{n z_1 + m z_2}{m+n}.
\)

Таким образом, координаты точки O, которая делит отрезок \(\overrightarrow{AB}\) в отношении \(m:n\), равны:

\(
O = \frac{n z_1 + m z_2}{m+n}.
\)

Ответ:

\(
\frac{n z_1 + m z_2}{m+n}.
\)