ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 14.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

На комплексной плоскости изображён треугольник с вершинами \( A(z_1) \), \( B(z_2) \) и \( C(z_3) \). Найдите комплексную координату точки пересечения медиан треугольника \( ABC \).

На плоскости дан треугольник:
\(A(z_1), B(z_2), C(z_3)\);

1) Середина вектора \(\overrightarrow{AB}\):
\(
C_1 = \frac{z_1 + z_2}{2};
\)

2) Пересечение медиан:
\(
CO : C_1O = 2 : 1;
\)

3) Координаты точки \(O\):
\(
O = \frac{1 \cdot z_3 + 2 \cdot \frac{z_1 + z_2}{2}}{2 + 1} = \frac{z_3 + z_1 + z_2}{3};
\)

Ответ:
\(
\frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}.
\)

На плоскости дан треугольник: \(A(z_1), B(z_2), C(z_3)\).

1) Для начала найдем середину вектора \(\overrightarrow{AB}\). Середина вектора определяется как среднее арифметическое координат точек A и B. Это можно записать следующим образом:

\(
C_1 = \frac{z_1 + z_2}{2};
\)

Здесь \(C_1\) — это точка, которая является серединой отрезка \(\overline{AB}\).

2) Далее рассмотрим пересечение медиан треугольника. Медианы треугольника — это отрезки, соединяющие вершины треугольника с серединами противоположных сторон. В данном случае, мы рассматриваем медиану, проведенную из точки C к середине отрезка \(\overline{AB}\) (то есть к точке \(C_1\)). Соотношение между отрезками \(CO\) и \(C_1O\) можно записать как:

\(
CO : C_1O = 2 : 1;
\)

Это означает, что точка O делит медиану \(C_1C\) в отношении 2 к 1.

3) Теперь мы можем найти координаты точки \(O\). Поскольку точка O делит отрезок \(C_1C\) в отношении 2:1, мы можем использовать формулу для нахождения координат точки, которая делит отрезок в заданном отношении. Мы можем записать это как:

\(
O = \frac{1 \cdot z_3 + 2 \cdot C_1}{2 + 1};
\)

Подставляя значение \(C_1\), получаем:

\(
O = \frac{1 \cdot z_3 + 2 \cdot \frac{z_1 + z_2}{2}}{3}.
\)

Упрощая это выражение, мы можем записать его следующим образом:

\(
O = \frac{z_3 + z_1 + z_2}{3};
\)

Таким образом, координаты точки \(O\) равны:

\(
O = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}.
\)

Ответ:

\(
\frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}.
\)