Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 14.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Изобразите на комплексной плоскости все числа z, удовлетворяющие условию:
\(
\begin{align*}
1) & \quad 1 < |z — 1 — i| < 3, \\
2) & \quad |z — 2i| = |z — 4|, \\
3) & \quad |z — 2i| > |z — 4|, \\
4) & \quad |z| = \operatorname{Re}(z), \\
5) & \quad |z| < \operatorname{Im}(z), \\
6) & \quad |z — 1| = \operatorname{Re}(z).
\end{align*}
\)
1)
\(
1 < |z — 1 — i| < 3;
\)
\(
1 < (x — 1)^2 + (y — 1)^2 < 9;
\)
2)
\(
|z — 2i| = |z — 4|;
\)
\(
\sqrt{x^2 + (y — 2)^2} = \sqrt{(x — 4)^2 + y^2};
\)
\(
x^2 + y^2 — 4y + 4 = x^2 — 8x + 16 + y^2;
\)
\(
4y = 8x — 12;
\)
\(
y = 2x — 3;
\)
3)
\(
|z — 2i| > |z — 4|;
\)
\(
\sqrt{x^2 + (y — 2)^2} > \sqrt{(x — 4)^2 + y^2};
\)
\(
x^2 + y^2 — 4y + 4 > x^2 — 8x + 16 + y^2;
\)
\(
4y < 8x — 12;
\)
\(
y < 2x — 3;
\)
4)
\(
|z| = \operatorname{Re} z;
\)
\(
\sqrt{x^2 + y^2} = x;
\)
\(
x^2 + y^2 = x^2, \quad x \geq 0;
\)
\(
y^2 = 0, \quad x \geq 0;
\)
\(
y = 0, \quad x \geq 0;
\)
5)
\(
|z| \leq \operatorname{Im} z;
\)
\(
\sqrt{x^2 + y^2} \leq y;
\)
\(
x^2 + y^2 \leq y^2, \quad y \geq 0;
\)
\(
x^2 \leq 0, \quad y \geq 0;
\)
\(
x = 0, \quad y \geq 0;
\)
6)
\(
|z — 1| = \operatorname{Re} z;
\)
\(
\sqrt{(x-1)^2 + y^2} = x;
\)
\(
x^2 — 2x + 1 + y^2 = x^2;
\)
\(
2x = y^2 + 1;
\)
\(
x = \frac{y^2 + 1}{2};
\)
1) Рассмотрим неравенство:
\(
1 < |z — 1 — i| < 3;
\)
Это означает, что точка \(z\) находится между двумя окружностями на комплексной плоскости. Перепишем это неравенство в виде:
\(
1 < \sqrt{(x — 1)^2 + (y — 1)^2} < 3;
\)
Квадратируя все части неравенства, получаем:
\(
1 < (x — 1)^2 + (y — 1)^2 < 9;
\)
Это означает, что \(z\) находится вне окружности радиуса 1 с центром в точке (1, 1) и внутри окружности радиуса 3 с тем же центром.
2) Теперь рассмотрим уравнение:
\(
|z — 2i| = |z — 4|;
\)
Это уравнение определяет места, где расстояние от точки \(z\) до точки \(2i\) равно расстоянию до точки \(4\). Запишем это в виде:
\(
\sqrt{x^2 + (y — 2)^2} = \sqrt{(x — 4)^2 + y^2};
\)
Квадратируя обе стороны, получаем:
\(
x^2 + (y — 2)^2 = (x — 4)^2 + y^2;
\)
Раскрывая скобки, получаем:
\(
x^2 + y^2 — 4y + 4 = x^2 — 8x + 16 + y^2;
\)
Сокращая \(x^2\) и \(y^2\), получаем:
\(
-4y + 4 = -8x + 16;
\)
Упрощая, получаем:
\(
4y = 8x — 12;
\)
Делим обе стороны на 4:
\(
y = 2x — 3;
\)
Это уравнение представляет собой прямую на плоскости.
3) Теперь рассмотрим неравенство:
\(
|z — 2i| > |z — 4|;
\)
Это означает, что расстояние от точки \(z\) до точки \(2i\) больше, чем расстояние до точки \(4\). Запишем это в виде:
\(
\sqrt{x^2 + (y — 2)^2} > \sqrt{(x — 4)^2 + y^2};
\)
Квадратируя обе стороны, получаем:
\(
x^2 + (y — 2)^2 > (x — 4)^2 + y^2;
\)
Раскрывая скобки, получаем:
\(
x^2 + y^2 — 4y + 4 > x^2 — 8x + 16 + y^2;
\)
Сокращая \(x^2\) и \(y^2\), получаем:
\(
-4y + 4 > -8x + 16;
\)
Упрощая, получаем:
\(
4y < 8x — 12;
\)
Делим обе стороны на 4:
\(
y < 2x — 3;
\)
Это уравнение также представляет собой прямую на плоскости.
4) Теперь рассмотрим уравнение:
\(
|z| = \operatorname{Re} z;
\)
Это означает, что модуль комплексного числа равен его действительной части. Запишем это в виде:
\(
\sqrt{x^2 + y^2} = x;
\)
Квадратируя обе стороны, получаем:
\(
x^2 + y^2 = x^2, \quad x \geq 0;
\)
Сокращая \(x^2\), получаем:
\(
y^2 = 0, \quad x \geq 0;
\)
Это означает, что \(y = 0\), и так как \(x \geq 0\), мы имеем:
\(
y = 0, \quad x \geq 0;
\)
Таким образом, это соответствует положительной части оси абсцисс.
5) Рассмотрим неравенство:
\(
|z| \leq \operatorname{Im} z;
\)
Это означает, что модуль комплексного числа меньше или равен его мнимой части. Запишем это в виде:
\(
\sqrt{x^2 + y^2} \leq y;
\)
Квадратируя обе стороны, получаем:
\(
x^2 + y^2 \leq y^2, \quad y \geq 0;
\)
Сокращая \(y^2\), получаем:
\(
x^2 \leq 0, \quad y \geq 0;
\)
Это возможно только если \(x = 0\), и так как \(y \geq 0\), мы имеем:
\(
x = 0, \quad y \geq 0;
\)
Таким образом, это соответствует положительной части оси Imaginary.
6) Рассмотрим уравнение:
\(
|z — 1| = \operatorname{Re} z;
\)
Это означает, что расстояние от точки \(z\) до точки \(1\) равно его действительной части. Запишем это в виде:
\(
\sqrt{(x-1)^2 + y^2} = x;
\)
Квадратируя обе стороны, получаем:
\(
(x-1)^2 + y^2 = x^2;
\)
Раскрывая скобки, получаем:
\(
x^2 — 2x + 1 + y^2 = x^2;
\)
Сокращая \(x^2\), получаем:
\(
-2x + 1 + y^2 = 0;
\)
Переписываем уравнение так:
\(
y^2 = 2x — 1;
\)
Теперь делим обе стороны на 1:
\(
y = \sqrt{2x — 1} \quad \text{и} \quad y = -\sqrt{2x — 1};
\)
При этом необходимо учитывать, что \(y^2 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.