Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 14.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Изобразите на комплексной плоскости все числа z, удовлетворяющие условию:
1) \( 2 < |z — (1 — i)| < 3 \)
2) \( |z — 2| = |z + 4i| \)
3) \( |z — 2| > |z + 4i| \)
4) \( |z| = \text{Im}(z) \)
5) \( |z| > \text{Re}(z) \)
6) \( |z — i| = \text{Im}(z) \)
Изобразить на плоскости числа \( z \):
1)
\(
2 \leq |z — 1 + i| < 3;
\)
\(
2 \leq \sqrt{(x-1)^2 + (y+1)^2} < 3;
\)
\(
4 \leq (x-1)^2 + (y+1)^2 < 9;
\)
2)
\(
|z — 2| = |z + 4i|;
\)
\(
\sqrt{(x — 2)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (y + 4)^2};
\)
\(
x^2 — 4x + 4 + y^2 = x^2 + y^2 + 8y + 16;
\)
\(
8y = -4x — 12;
\)
\(
y = -\frac{1}{2}x — \frac{3}{2};
\)
3)
\(
|z — 2| \geq |z + 4i|;
\)
\(
\sqrt{(x — 2)^2 + y^2} \geq \sqrt{x^2 + (y + 4)^2};
\)
\(
x^2 — 4x + 4 + y^2 \geq x^2 + y^2 + 8y + 16;
\)
\(
8y \leq -4x — 12;
\)
\(
y \leq -\frac{1}{2}x — \frac{3}{2};
\)
4)
\(
|z| = \text{Im} z;
\)
\(
\sqrt{x^2 + y^2} = y;
\)
\(
x^2 + y^2 = y^2, \quad y \geq 0;
\)
\(
x^2 = 0, \quad y \geq 0;
\)
\(
x = 0, \quad y \geq 0;
\)
5)
\(
|z| \geq \text{Re} z;
\)
\(
\sqrt{x^2 + y^2} \geq x;
\)
\(
x^2 + y^2 \geq x^2;
\)
\(
y^2 \geq 0;
\)
\(
y \in \mathbb{R}, \quad x \in \mathbb{R};
\)
6)
\(
|z — i| = \text{Im} z;
\)
\(
\sqrt{x^2 + (y — 1)^2} = y;
\)
\(
x^2 + y^2 — 2y + 1 = y^2;
\)
\(
2y = x^2 + 1;
\)
\(
y = \frac{x^2 + 1}{2};
\)
Изобразить на плоскости числа \( z \):
1) Рассмотрим неравенство:
\(
2 \leq |z — 1 + i| < 3;
\)
Это неравенство описывает область между двумя окружностями на комплексной плоскости. Перепишем это неравенство в виде:
\(
2 \leq \sqrt{(x-1)^2 + (y+1)^2} < 3;
\)
Квадратируя все части неравенства, получаем:
\(
4 \leq (x-1)^2 + (y+1)^2 < 9;
\)
Это означает, что точка \( z \) находится вне окружности радиуса 2 с центром в точке \( (1, -1) \) и внутри окружности радиуса 3 с тем же центром.
2) Теперь рассмотрим уравнение:
\(
|z — 2| = |z + 4i|;
\)
Это уравнение определяет места, где расстояние от точки \( z \) до точки \( 2 \) равно расстоянию до точки \( -4i \). Запишем это в виде:
\(
\sqrt{(x — 2)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (y + 4)^2};
\)
Квадратируя обе стороны, получаем:
\(
(x — 2)^2 + y^2 = x^2 + (y + 4)^2;
\)
Раскрывая скобки, получаем:
\(
(x^2 — 4x + 4) + y^2 = x^2 + (y^2 + 8y + 16);
\)
Сокращая \( x^2 \) и \( y^2 \), получаем:
\(
-4x + 4 = 8y + 16;
\)
Упрощая, мы получаем:
\(
8y = -4x — 12;
\)
И деля обе стороны на 4, получаем:
\(
y = -\frac{1}{2}x — \frac{3}{2};
\)
Это уравнение представляет собой прямую линию.
3) Рассмотрим неравенство:
\(
|z — 2| \geq |z + 4i|;
\)
Это неравенство определяет область, где расстояние от точки \( z \) до точки \( 2 \) больше или равно расстоянию до точки \( -4i \). Запишем это в виде:
\(
\sqrt{(x — 2)^2 + y^2} \geq \sqrt{x^2 + (y + 4)^2};
\)
Квадратируя обе стороны, получаем:
\(
(x — 2)^2 + y^2 \geq x^2 + (y + 4)^2;
\)
Раскрывая скобки, получаем:
\(
(x^2 — 4x + 4) + y^2 \geq x^2 + (y^2 + 8y + 16);
\)
Сокращая \( x^2 \) и \( y^2 \), получаем:
\(
-4x + 4 \geq 8y + 16;
\)
Упрощая, мы имеем:
\(
8y \leq -4x — 12;
\)
И деля обе стороны на 4, получаем:
\(
y \leq -\frac{1}{2}x — \frac{3}{2};
\)
Это также представляет собой прямую линию, но с неравенством.
4) Рассмотрим уравнение:
\(
|z| = \text{Im} z;
\)
Это уравнение означает, что модуль комплексного числа \( z \) равен его мнимой части. Запишем это в виде:
\(
\sqrt{x^2 + y^2} = y;
\)
Квадратируя обе стороны, получаем:
\(
x^2 + y^2 = y^2.
\)
Сокращая \( y^2 \), получаем:
\(
x^2 = 0,
\)
что означает, что \( x = 0 \). Поскольку мы также знаем, что \( y \geq 0 \), то это означает, что \( y = 0 \). Таким образом, мы имеем:
\(
x = 0, \quad y \geq 0.
\)
Это соответствует точке на оси \( y \).
5) Рассмотрим неравенство:
\(
|z| \geq \text{Re} z;
\)
Это означает, что модуль комплексного числа \( z \) больше или равен его действительной части. Запишем это в виде:
\(
\sqrt{x^2 + y^2} \geq x;
\)
Квадратируя обе стороны, получаем:
\(
x^2 + y^2 \geq x^2.
\)
Сокращая \( x^2 \), получаем:
\(
y^2 \geq 0.
\)
Это неравенство всегда верно для всех действительных чисел. Таким образом, мы можем записать:
\(
y \in \mathbb{R}, \quad x \in \mathbb{R}.
\)
6) Рассмотрим уравнение:
\(
|z — i| = \text{Im} z;
\)
Это уравнение означает, что расстояние от точки \( z \) до точки \( i \) равно его мнимой части. Запишем это в виде:
\(
\sqrt{x^2 + (y — 1)^2} = y;
\)
Квадратируя обе стороны, получаем:
\(
x^2 + (y — 1)^2 = y^2.
\)
Раскрывая скобки, получаем:
\(
x^2 + y^2 — 2y + 1 = y^2.
\)
Сокращая \( y^2 \), получаем:
\(
x^2 — 2y + 1 = 0.
\)
Переписываем это уравнение как:
\(
x^2 = 2y — 1.
\)
Таким образом, мы можем выразить \( y \):
\(
y = \frac{x^2 + 1}{2}.
\)
Это уравнение описывает параболу на плоскости.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!