Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 14.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
\(
\text{Представьте в тригонометрической форме число } z = 1 + \cos(\varphi) + i \sin(\varphi), \text{ если:}
\)
1. \(\varphi \in (0; \pi);\)
2. \(\varphi \in (\pi; 2\pi).\)
Представить в тригонометрической форме:
\(
1 + \cos \varphi + i \sin \varphi;
\)
\(
r = \sqrt{(1 + \cos \varphi)^2 + \sin^2 \varphi};
\)
\(
r = \sqrt{1 + 2 \cos \varphi + \cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi};
\)
\(
r = \sqrt{2 + 2 \cos \varphi} = \sqrt{4 \cos^2 \frac{\varphi}{2}} = 2 \left| \cos \frac{\varphi}{2} \right|;
\)
1) Если \(\varphi \in (0; \pi)\), тогда:
\(
\cos \theta = \frac{1 + \cos \varphi}{2 \cos \frac{\varphi}{2}} = \frac{2 \cos^2 \frac{\varphi}{2}}{2 \cos \frac{\varphi}{2}} = \cos \frac{\varphi}{2};
\)
\(
z = 2 \cos \frac{\varphi}{2} \left( \cos \frac{\varphi}{2} + i \sin \frac{\varphi}{2} \right);
\)
2) Если \(\varphi \in (\pi; 2\pi)\), тогда:
\(
\cos \theta = \frac{1 + \cos \varphi}{-2 \cos \frac{\varphi}{2}} = — \cos \frac{\varphi}{2} = \cos \left(\pi + \frac{\varphi}{2}\right);
\)
\(
z = -2 \cos \frac{\varphi}{2} \left( \cos \left(\pi + \frac{\varphi}{2}\right) + i \sin \left(\pi + \frac{\varphi}{2}\right) \right);
\)
Рассмотрим комплексное число
\(
z = 1 + \cos \varphi + i \sin \varphi.
\)
Нужно представить его в тригонометрической форме
\(
z = r(\cos \theta + i \sin \theta),
\)
где \(r = |z|\) — модуль, а \(\theta = \arg z\) — аргумент.
Шаг 1. Найдем модуль \(r\):
\(
r = |z| = \sqrt{(1 + \cos \varphi)^2 + (\sin \varphi)^2}.
\)
Раскроем скобки и упростим:
\(
r = \sqrt{1 + 2 \cos \varphi + \cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi}.
\)
Используем тождество \(\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi = 1\), тогда
\(
r = \sqrt{1 + 2 \cos \varphi + 1} = \sqrt{2 + 2 \cos \varphi}.
\)
Воспользуемся формулой для косинуса двойного угла:
\(
\cos \varphi = 2 \cos^2 \frac{\varphi}{2} — 1,
\)
тогда
\(
2 + 2 \cos \varphi = 2 + 2(2 \cos^2 \frac{\varphi}{2} — 1) = 2 + 4 \cos^2 \frac{\varphi}{2} — 2 = 4 \cos^2 \frac{\varphi}{2}.
\)
Итого,
\(
r = \sqrt{4 \cos^2 \frac{\varphi}{2}} = 2 \left| \cos \frac{\varphi}{2} \right|.
\)
Шаг 2. Найдем аргумент \(\theta\).
По определению,
\(
\cos \theta = \frac{\text{Re}(z)}{r} = \frac{1 + \cos \varphi}{r}, \quad \sin \theta = \frac{\sin \varphi}{r}.
\)
Так как
\(
r = 2 \left| \cos \frac{\varphi}{2} \right|,
\)
то
\(
\cos \theta = \frac{1 + \cos \varphi}{2 \left| \cos \frac{\varphi}{2} \right|}.
\)
Рассмотрим два случая в зависимости от знака \(\cos \frac{\varphi}{2}\):
1) Если \(\varphi \in (0, \pi)\), тогда \(\cos \frac{\varphi}{2} > 0\), и
\(
r = 2 \cos \frac{\varphi}{2}.
\)
Тогда
\(
\cos \theta = \frac{1 + \cos \varphi}{2 \cos \frac{\varphi}{2}}.
\)
Используем формулу для \(1 + \cos \varphi\):
\(
1 + \cos \varphi = 2 \cos^2 \frac{\varphi}{2}.
\)
Подставляем:
\(
\cos \theta = \frac{2 \cos^2 \frac{\varphi}{2}}{2 \cos \frac{\varphi}{2}} = \cos \frac{\varphi}{2}.
\)
Аналогично для синуса:
\(
\sin \theta = \frac{\sin \varphi}{2 \cos \frac{\varphi}{2}}.
\)
Используем формулу для синуса двойного угла:
\(
\sin \varphi = 2 \sin \frac{\varphi}{2} \cos \frac{\varphi}{2}.
\)
Подставляем:
\(
\sin \theta = \frac{2 \sin \frac{\varphi}{2} \cos \frac{\varphi}{2}}{2 \cos \frac{\varphi}{2}} = \sin \frac{\varphi}{2}.
\)
Таким образом,
\(
\theta = \frac{\varphi}{2}.
\)
И комплексное число принимает вид
\(
z = r (\cos \theta + i \sin \theta) = 2 \cos \frac{\varphi}{2} \left( \cos \frac{\varphi}{2} + i \sin \frac{\varphi}{2} \right).
\)
2) Если \(\varphi \in (\pi, 2\pi)\), тогда \(\cos \frac{\varphi}{2} < 0\), и
\(
r = 2 \left| \cos \frac{\varphi}{2} \right| = -2 \cos \frac{\varphi}{2}.
\)
Тогда
\(
\cos \theta = \frac{1 + \cos \varphi}{r} = \frac{1 + \cos \varphi}{-2 \cos \frac{\varphi}{2}}.
\)
Подставим \(1 + \cos \varphi = 2 \cos^2 \frac{\varphi}{2}\):
\(
\cos \theta = \frac{2 \cos^2 \frac{\varphi}{2}}{-2 \cos \frac{\varphi}{2}} = — \cos \frac{\varphi}{2}.
\)
Это можно переписать как
\(
\cos \theta = \cos \left( \pi + \frac{\varphi}{2} \right),
\)
поскольку \(\cos (\pi + x) = — \cos x\).
Для синуса:
\(
\sin \theta = \frac{\sin \varphi}{r} = \frac{\sin \varphi}{-2 \cos \frac{\varphi}{2}}.
\)
Используем \(\sin \varphi = 2 \sin \frac{\varphi}{2} \cos \frac{\varphi}{2}\):
\(
\sin \theta = \frac{2 \sin \frac{\varphi}{2} \cos \frac{\varphi}{2}}{-2 \cos \frac{\varphi}{2}} = — \sin \frac{\varphi}{2} = \sin \left(\pi + \frac{\varphi}{2}\right),
\)
поскольку \(\sin (\pi + x) = — \sin x\).
Отсюда
\(
\theta = \pi + \frac{\varphi}{2}.
\)
И комплексное число можно записать так:
\(
z = r (\cos \theta + i \sin \theta) = -2 \cos \frac{\varphi}{2} \left( \cos \left(\pi + \frac{\varphi}{2}\right) + i \sin \left(\pi + \frac{\varphi}{2}\right) \right).
\)
Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа
\(
z = 1 + \cos \varphi + i \sin \varphi
\)
записывается как
\(
z =
\begin{cases}
2 \cos \frac{\varphi}{2} \left( \cos \frac{\varphi}{2} + i \sin \frac{\varphi}{2} \right), & \varphi \in (0, \pi), \\
-2 \cos \frac{\varphi}{2} \left( \cos \left(\pi + \frac{\varphi}{2}\right) + i \sin \left(\pi + \frac{\varphi}{2}\right) \right), & \varphi \in (\pi, 2\pi).
\end{cases}
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.