Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 14.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
\(
\text{Представьте в тригонометрической форме число } 1 — \cos(\varphi) + i \sin(\varphi), \text{ если:}
\)
1) \(\varphi \in (0; \pi);\)
2) \(\varphi \in (-\pi; 0).\)
Представить в тригонометрической форме:
\(
1 — \cos \varphi + i \sin \varphi;
\)
\(
r = \sqrt{(1 — \cos \varphi)^2 + \sin^2 \varphi};
\)
\(
r = \sqrt{1 — 2 \cos \varphi + \cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi};
\)
\(
r = \sqrt{2 — 2 \cos \varphi} = \sqrt{4 \sin^2 \frac{\varphi}{2}} = 2 \left| \sin \frac{\varphi}{2} \right|;
\)
1) Если \(\varphi \in (0; \pi)\), тогда:
\(
\cos \theta = \frac{1 — \cos \varphi}{2 \sin \frac{\varphi}{2}} = \frac{2 \sin^2 \frac{\varphi}{2}}{2 \sin \frac{\varphi}{2}} = \sin \frac{\varphi}{2};
\)
\(
\cos \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} — \frac{\varphi}{2}\right) = \cos \frac{\pi — \varphi}{2};
\)
\(
z = 2 \sin \frac{\varphi}{2} \left( \cos \frac{\pi — \varphi}{2} + i \sin \frac{\pi — \varphi}{2} \right);
\)
2) Если \(\varphi \in (-\pi; 0)\), тогда:
\(
\cos \theta = \frac{1 — \cos \varphi}{-2 \sin \frac{\varphi}{2}} = \frac{2 \sin^2 \frac{\varphi}{2}}{-2 \sin \frac{\varphi}{2}} = — \sin \frac{\varphi}{2};
\)
\(
\cos \theta = \cos \left(\frac{3\pi}{2} — \frac{\varphi}{2}\right) = \cos \frac{3\pi — \varphi}{2};
\)
\(
z = -2 \sin \frac{\varphi}{2} \left( \cos \frac{3\pi — \varphi}{2} + i \sin \frac{3\pi — \varphi}{2} \right);
\)
Рассмотрим комплексное число
\(
z = 1 — \cos \varphi + i \sin \varphi.
\)
Нужно представить его в тригонометрической форме
\(
z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right),
\)
где \(r = |z|\) — модуль, а \(\theta = \arg z\) — аргумент.
1. Найдём модуль \(r\):
\(
r = |z| = \sqrt{(1 — \cos \varphi)^2 + (\sin \varphi)^2}.
\)
Раскроем квадрат и сложим:
\(
r = \sqrt{1 — 2 \cos \varphi + \cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi}.
\)
Используем тождество \(\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi = 1\), тогда
\(
r = \sqrt{1 — 2 \cos \varphi + 1} = \sqrt{2 — 2 \cos \varphi}.
\)
Воспользуемся формулой для косинуса двойного угла:
\(
\cos \varphi = 1 — 2 \sin^2 \frac{\varphi}{2},
\)
тогда
\(
2 — 2 \cos \varphi = 2 — 2 \left(1 — 2 \sin^2 \frac{\varphi}{2}\right) = 2 — 2 + 4 \sin^2 \frac{\varphi}{2} = 4 \sin^2 \frac{\varphi}{2}.
\)
Отсюда
\(
r = \sqrt{4 \sin^2 \frac{\varphi}{2}} = 2 \left| \sin \frac{\varphi}{2} \right|.
\)
2. Найдём аргумент \(\theta\).
Пусть
\(
z = x + iy = 1 — \cos \varphi + i \sin \varphi,
\)
тогда
\(
x = 1 — \cos \varphi, \quad y = \sin \varphi.
\)
Аргумент \(\theta\) определяется как
\(
\theta = \arg z = \arctan \frac{y}{x} = \arctan \frac{\sin \varphi}{1 — \cos \varphi}.
\)
Используем формулы для синуса и косинуса половинного угла:
\(
1 — \cos \varphi = 2 \sin^2 \frac{\varphi}{2}, \quad \sin \varphi = 2 \sin \frac{\varphi}{2} \cos \frac{\varphi}{2}.
\)
Тогда
\(
\frac{y}{x} = \frac{2 \sin \frac{\varphi}{2} \cos \frac{\varphi}{2}}{2 \sin^2 \frac{\varphi}{2}} = \frac{\cos \frac{\varphi}{2}}{\sin \frac{\varphi}{2}} = \cot \frac{\varphi}{2}.
\)
Следовательно,
\(
\theta = \arctan \left( \cot \frac{\varphi}{2} \right).
\)
Поскольку \(\arctan(\cot \alpha) = \frac{\pi}{2} — \alpha\) при \(\alpha \in (0, \pi)\), получаем
\(
\theta = \frac{\pi}{2} — \frac{\varphi}{2}.
\)
3. Рассмотрим два случая для \(\varphi\):
Случай 1: \(\varphi \in (0, \pi)\).
Тогда \(\sin \frac{\varphi}{2} > 0\), и модуль
\(
r = 2 \sin \frac{\varphi}{2}.
\)
Аргумент
\(
\theta = \frac{\pi}{2} — \frac{\varphi}{2} = \frac{\pi — \varphi}{2}.
\)
Тогда
\(
z = 2 \sin \frac{\varphi}{2} \left( \cos \frac{\pi — \varphi}{2} + i \sin \frac{\pi — \varphi}{2} \right).
\)
Случай 2: \(\varphi \in (-\pi, 0)\).
В этом случае \(\sin \frac{\varphi}{2} < 0\), поэтому
\(
r = 2 \left| \sin \frac{\varphi}{2} \right| = -2 \sin \frac{\varphi}{2}.
\)
Чтобы сохранить положительный модуль, вынесем знак минус отдельно:
\(
z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) = -2 \sin \frac{\varphi}{2} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right).
\)
Теперь найдём аргумент \(\theta\).
Из выражения для \(\theta\):
\(
\theta = \arg z = \arctan \frac{y}{x} = \arctan \frac{\sin \varphi}{1 — \cos \varphi}.
\)
Подставляя \(\varphi \in (-\pi, 0)\), аналогично получаем
\(
\frac{y}{x} = \cot \frac{\varphi}{2}.
\)
Но так как \(\sin \frac{\varphi}{2} < 0\), аргумент сдвигается на \(\pi\) (чтобы сохранить правильное направление в комплексной плоскости):
\(
\theta = \pi + \left( \frac{\pi}{2} — \frac{\varphi}{2} \right) = \frac{3\pi}{2} — \frac{\varphi}{2} = \frac{3\pi — \varphi}{2}.
\)
Итог:
\(
z = -2 \sin \frac{\varphi}{2} \left( \cos \frac{3\pi — \varphi}{2} + i \sin \frac{3\pi — \varphi}{2} \right).
\)
Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа \(z\) равна
\(
z =
\begin{cases}
2 \sin \frac{\varphi}{2} \left( \cos \frac{\pi — \varphi}{2} + i \sin \frac{\pi — \varphi}{2} \right), & \text{если } \varphi \in (0, \pi), \\
-2 \sin \frac{\varphi}{2} \left( \cos \frac{3\pi — \varphi}{2} + i \sin \frac{3\pi — \varphi}{2} \right), & \text{если } \varphi \in (-\pi, 0).
\end{cases}
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.