ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 14.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Изобразите на комплексной плоскости все числа z, удовлетворяющие условию:

1) \(\text{Re}\left(\frac{1}{z}\right) + \text{Im}\left(\frac{1}{z}\right) = \frac{1}{2}\)

2) \((1+i)\overline{z} = (1-i)z\)

1) \(\text{Re} \frac{1}{z} + \text{Im} \frac{1}{z} = \frac{1}{2}\);

\(
\frac{1}{z} = \frac{1}{x + yi} = \frac{x — yi}{x^2 + y^2};
\)

\(
\frac{x}{x^2 + y^2} — \frac{y}{x^2 + y^2} = \frac{1}{2};
\)

\(
2x — 2y = x^2 + y^2, \quad x \neq 0, \quad y \neq 0;
\)

\(
x^2 — 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 2;
\)

\(
(x — 1)^2 + (y + 1)^2 = 2;
\)

2) \((1 + i) \overline{z} = (1 — i) z;\)

\(z = x + yi,\quad \overline{z} = x — yi;\)

\((1 + i)(x — yi) = (1 — i)(x + yi);\)

\(x — yi + xi + y = x + yi — xi + y;\)

\(2xi = 2yi,\quad x = y;\)

1) Изобразим на плоскости числа \( z \), удовлетворяющие условию:

\(
\text{Re} \frac{1}{z} + \text{Im} \frac{1}{z} = \frac{1}{2}.
\)

Сначала выразим \( \frac{1}{z} \):

\(
\frac{1}{z} = \frac{1}{x + yi} = \frac{x — yi}{x^2 + y^2}.
\)

Теперь мы можем записать действительную и мнимую части:

\(
\text{Re} \frac{1}{z} = \frac{x}{x^2 + y^2}, \quad \text{Im} \frac{1}{z} = -\frac{y}{x^2 + y^2}.
\)

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

\(
\frac{x}{x^2 + y^2} — \frac{y}{x^2 + y^2} = \frac{1}{2}.
\)

Умножим обе стороны на \( 2(x^2 + y^2) \):

\(
2x — 2y = x^2 + y^2.
\)

При этом предполагаем, что \( x \neq 0 \) и \( y \neq 0 \).

Перепишем уравнение в более удобной форме:

\(
x^2 — 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 2.
\)

Это можно записать как:

\(
(x — 1)^2 + (y + 1)^2 = 2.
\)

Таким образом, мы получили уравнение круга с центром в точке \( (1, -1) \) и радиусом \( \sqrt{2} \).

2) Теперь рассмотрим вторую часть задачи:

Рассмотрим уравнение:

\(
(1 + i) \overline{z} = (1 — i) z.
\)

Обозначим \( z = x + yi \) и его комплексно-сопряжённое число как \( \overline{z} = x — yi \).

Подставим эти выражения в уравнение:

\(
(1 + i)(x — yi) = (1 — i)(x + yi).
\)

Раскроем скобки с обеих сторон:

Слева:

\(
(1 + i)(x — yi) = x + xi — yi — y = (x + y) + (x — y)i.
\)

Справа:

\(
(1 — i)(x + yi) = x + yi — xi — y = (x — y) + (y — x)i.
\)

Теперь приравняем действительные и мнимые части:

Действительные части:

\(
x + y = x — y.
\)

Мнимые части:

\(
x — y = y — x.
\)

Решим первое уравнение. Перепишем его:

\(
x + y = x — y — 2y = 0 — y = 0.
\)

Теперь рассмотрим второе уравнение:

\(
x — y = y — x.
\)

Подставим найденное значение \( y = 0 \):

\(
x — 0 = 0 — x — x = -x.
\)

Это означает, что

\(
2x = 0 — x = 0.
\)

Таким образом, мы пришли к выводу, что \( x = 0 \) и \( y = 0 \).

Таким образом, единственное число \( z \), удовлетворяющее данному уравнению, это:

\(
z = 0.
\)