ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 14.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Изобразите на комплексной плоскости все числа z, удовлетворяющие условию:

\(
\begin{align*}
1) & \quad \text{Re}(z) = -2; \\
2) & \quad \text{Re}(z) < 1; \\
3) & \quad \text{Im}(z) = 4; \\
4) & \quad \text{Im}(z) > -3; \\
5) & \quad \text{Re}(z) + \text{Im}(z) = 1; \\
6) & \quad (\text{Re}(z))^2 = (\text{Im}(z))^2.
\end{align*}
\)

1) \(\mathrm{Re}\, z = -2;\)

2) \(\mathrm{Re}\, z \leq 1;\)

3) \(\mathrm{Im}\, z = 4;\)

4) \(\mathrm{Im}\, z \geq -3;\)

5) \(\mathrm{Re}\, z + \mathrm{Im}\, z = 1;\)
\(\mathrm{Im}\, z = 1 — \mathrm{Re}\, z;\)

6) \((\mathrm{Re}\, z)^2 = (\mathrm{Im}\, z)^2;\)
\(|\mathrm{Re}\, z| = |\mathrm{Im}\, z|;\)

1) \(\mathrm{Re}\, z = -2;\)
Это уравнение задаёт вертикальную прямую на комплексной плоскости, проходящую через точку \( x = -2 \). Все точки \( z \) имеют фиксированную действительную часть \(-2\), а мнимая часть может быть любой.

2) \(\mathrm{Re}\, z \leq 1;\)
Это неравенство задаёт полуплоскость слева от прямой \( x = 1 \) включительно. То есть все точки \( z \) с действительной частью, меньшей или равной 1.

3) \(\mathrm{Im}\, z = 4;\)
Это уравнение задаёт горизонтальную прямую на комплексной плоскости, проходящую через точку \( y = 4 \). Все точки \( z \) имеют фиксированную мнимую часть 4, а действительная часть может быть любой.

4) \(\mathrm{Im}\, z \geq -3;\)
Это неравенство задаёт полуплоскость выше или на линии \( y = -3 \). Все точки \( z \) с мнимой частью, большей или равной \(-3\).

5) \(\mathrm{Re}\, z + \mathrm{Im}\, z = 1;\)
Перепишем:
\(
y = 1 — x,
\)
где \( x = \mathrm{Re}\, z \), \( y = \mathrm{Im}\, z \).
Это уравнение прямой с углом наклона \(-1\), пересекающей ось \( y \) в точке 1.

6) \((\mathrm{Re}\, z)^2 = (\mathrm{Im}\, z)^2;\)
Или, эквивалентно:
\(
|\,\mathrm{Re}\, z\,| = |\,\mathrm{Im}\, z\,|.
\)
Это означает, что действительная и мнимая части по абсолютной величине равны. На комплексной плоскости это две прямые:
\(
y = x \quad \text{и} \quad y = -x.
\)