ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 14.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Изобразите на комплексной плоскости все числа z, удовлетворяющие условию:

1) \( |z| = 1 \)

2) \( |z| < 1 \)

3) \( |z + i| = 2 \)

4) \( |z + i| > 2 \)

1) \(|z| = 1;\)
\(
\sqrt{x^2 + y^2} = 1;
\)
\(
x^2 + y^2 = 1;
\)

2) \(|z| \leq 1;\)
\(
\sqrt{x^2 + y^2} \leq 1;
\)
\(
x^2 + y^2 \leq 1;
\)

3) \(|z + i| = 2;\)
\(
\sqrt{x^2 + (y + 1)^2} = 2;
\)
\(
x^2 + (y + 1)^2 = 4;
\)

4) \(|z + i| \geq 2;\)
\(
\sqrt{x^2 + (y + 1)^2} \geq 2;
\)
\(
x^2 + (y + 1)^2 \geq 4;
\)

1) \(|z| = 1\) — это множество комплексных чисел \(z = x + iy\), для которых модуль равен 1.
Модуль комплексного числа \(z\) равен
\(
|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.
\)
Условие \(|z| = 1\) переписывается как
\(
\sqrt{x^2 + y^2} = 1.
\)
Возводя обе части в квадрат, получаем уравнение окружности:
\(
x^2 + y^2 = 1.
\)
Это окружность радиуса 1 с центром в начале координат.

2) \(|z| \leq 1\) — множество комплексных чисел с модулем не больше 1.
Аналогично,
\(
\sqrt{x^2 + y^2} \leq 1,
\)
что эквивалентно
\(
x^2 + y^2 \leq 1.
\)
Это внутренняя область (включая границу) окружности радиуса 1 с центром в начале координат.

3) \(|z + i| = 2\) — множество комплексных чисел \(z = x + iy\), для которых модуль числа \(z + i\) равен 2.
Запишем \(z + i = x + i(y + 1)\). Тогда
\(
|z + i| = \sqrt{x^2 + (y + 1)^2} = 2.
\)
Возводим в квадрат:
\(
x^2 + (y + 1)^2 = 4.
\)
Это уравнение окружности радиуса 2 с центром в точке \((0, -1)\).

4) \(|z + i| \geq 2\) — множество комплексных чисел, для которых модуль \(z + i\) не меньше 2.
Аналогично:
\(
\sqrt{x^2 + (y + 1)^2} \geq 2,
\)
что эквивалентно
\(
x^2 + (y + 1)^2 \geq 4.
\)
Это внешняя область (включая границу) окружности радиуса 2 с центром в точке \((0, -1)\).