ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 14.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Изобразите на комплексной плоскости все числа z, удовлетворяющие условию:

1) \(|z — 2i| = 3\)

2) \(|z — 2i| < 3\)

3) \(|z — 2i| > 3\)

1) \(|z — 2i| = 3;\)
\(
\sqrt{x^2 + (y — 2)^2} = 3;
\)
\(
x^2 + (y — 2)^2 = 9;
\)

2) \(|z — 2i| < 3;\)
\(
\sqrt{x^2 + (y — 2)^2} < 3;
\)
\(
x^2 + (y — 2)^2 < 9;
\)

3) \(|z — 2i| \geq 3;\)
\(
\sqrt{x^2 + (y — 2)^2} \geq 3;
\)
\(
x^2 + (y — 2)^2 \geq 9;
\)

1) Условие \(|z — 2i| = 3\) описывает множество комплексных чисел \(z = x + iy\), для которых модуль числа \(z — 2i\) равен 3.
Запишем это уравнение в виде:

\(
|z — 2i| = |(x + iy) — (0 + 2i)| = |x + i(y — 2)|.
\)

Модуль комплексного числа равен:

\(
|z — 2i| = \sqrt{x^2 + (y — 2)^2}.
\)

Таким образом, уравнение становится:

\(
\sqrt{x^2 + (y — 2)^2} = 3.
\)

Возводя обе стороны в квадрат, получаем:

\(
x^2 + (y — 2)^2 = 9.
\)

Это уравнение описывает окружность радиуса 3 с центром в точке \((0, 2)\).

2) Условие \(|z — 2i| < 3\) описывает множество комплексных чисел \(z\), для которых модуль числа \(z — 2i\) меньше 3.
Используя тот же подход, мы имеем:

\(
|z — 2i| < 3 — \sqrt{x^2 + (y — 2)^2} < 3.
\)

Возводя обе стороны в квадрат, получаем:

\(
x^2 + (y — 2)^2 < 9.
\)

Это неравенство описывает внутреннюю область круга радиуса 3 с центром в точке \((0, 2)\), включая границу.

3) Условие \(|z — 2i| \geq 3\) описывает множество комплексных чисел \(z\), для которых модуль числа \(z — 2i\) больше или равен 3.
Запишем это неравенство:

\(
|z — 2i| \geq 3 — \sqrt{x^2 + (y — 2)^2} \geq 3.
\)

Возводя обе стороны в квадрат, получаем:

\(
x^2 + (y — 2)^2 \geq 9.
\)

Это неравенство описывает область вне круга радиуса 3 с центром в точке \((0, 2)\), включая саму окружность.