ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 14.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите все аргументы комплексного числа:

1) \(7\);
2) \(4i\);
3) \(-2 — 2i\);
4) \(\sqrt{3} + i\).

1) \(7;\)
\(
r = \sqrt{7^2 + 0^2} = \sqrt{49 + 0} = \sqrt{49} = 7;
\)
\(
\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{7}{7} = 1, \quad \sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{0}{7} = 0;
\)
\(
\varphi = 2 \pi k;
\)

2) \(4i;\)
\(
r = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{0 + 16} = \sqrt{16} = 4;
\)
\(
\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{0}{4} = 0, \quad \sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{4}{4} = 1;
\)
\(
\varphi = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k;
\)

3) \(-2 — 2i;\)
\(
r = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2};
\)
\(
\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2};
\)
\(
\varphi = -\frac{3\pi}{4} + 2 \pi k;
\)

4) \(\sqrt{3} + i;\)
\(
r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2;
\)
\(
\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{1}{2};
\)
\(
\varphi = \frac{\pi}{6} + 2 \pi k;
\)

1) Для комплексного числа \(7\):
Это число можно представить в виде \(z = 7 + 0i\).
Сначала находим модуль \(r\):

\(
r = \sqrt{7^2 + 0^2} = \sqrt{49 + 0} = \sqrt{49} = 7.
\)

Теперь находим косинус и синус аргумента:

\(
\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{7}{7} = 1, \quad \sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{0}{7} = 0.
\)

Аргумент \( \varphi \) определяется как:

\(
\varphi = 2 \pi k,
\)

где \(k\) — любое целое число.

2) Для комплексного числа \(4i\):
Это число можно представить в виде \(z = 0 + 4i\).
Находим модуль \(r\):

\(
r = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{0 + 16} = \sqrt{16} = 4.
\)

Теперь находим косинус и синус аргумента:

\(
\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{0}{4} = 0, \quad \sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{4}{4} = 1.
\)

Аргумент \( \varphi \) определяется как:

\(
\varphi = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k,
\)

где \(k\) — любое целое число.

3) Для комплексного числа \(-2 — 2i\):
Это число можно представить в виде \(z = -2 — 2i\).
Находим модуль \(r\):

\(
r = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.
\)

Теперь находим косинус и синус аргумента:

\(
\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}.
\)

Аргумент \( \varphi \) определяется как:

\(
\varphi = -\frac{3\pi}{4} + 2 \pi k,
\)

где \(k\) — любое целое число.

4) Для комплексного числа \(\sqrt{3} + i\):
Это число можно представить в виде \(z = \sqrt{3} + 1i\).
Находим модуль \(r\):

\(
r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2.
\)

Теперь находим косинус и синус аргумента:

\(
\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{1}{2}.
\)

Аргумент \( \varphi \) определяется как:

\(
\varphi = \frac{\pi}{6} + 2 \pi k,
\)

где \(k\) — любое целое число.