ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 14.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите все аргументы комплексного числа:

1) \( z_1 = -3 \)
2) \( z_2 = -5i \)
3) \( z_3 = -3 + 3i \)
4) \( z_4 = -1 + i\sqrt{3} \)

1) \(-3;\)
\(
r = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 0} = \sqrt{9} = 3;
\)
\(
\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{-3}{3} = -1, \quad \sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{0}{3} = 0;
\)
\(
\varphi = \pi + 2 \pi k;
\)

2) \(-5i;\)
\(
r = \sqrt{0^2 + (-5)^2} = \sqrt{0 + 25} = \sqrt{25} = 5;
\)
\(
\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{0}{5} = 0, \quad \sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{-5}{5} = -1;
\)
\(
\varphi = -\frac{\pi}{2} + 2 \pi k;
\)

3) \(-3 + 3i;\)
\(
r = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2};
\)
\(
\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{-3}{3 \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{3}{3 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2};
\)
\(
\varphi = \frac{3\pi}{4} + 2 \pi k;
\)

4) \(-1 + i \sqrt{3};\)
\(
r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2;
\)
\(
\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2};
\)
\(
\varphi = \frac{2\pi}{3} + 2 \pi k;
\)

1) Для комплексного числа \(-3\):
Это число можно представить в виде \(z = -3 + 0i\).
Сначала находим модуль \(r\):

\(
r = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 0} = \sqrt{9} = 3.
\)

Теперь находим косинус и синус аргумента:

\(
\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{-3}{3} = -1, \quad \sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{0}{3} = 0.
\)

Аргумент \( \varphi \) определяется как:

\(
\varphi = \pi + 2 \pi k,
\)

где \(k\) — любое целое число.

2) Для комплексного числа \(-5i\):
Это число можно представить в виде \(z = 0 — 5i\).
Находим модуль \(r\):

\(
r = \sqrt{0^2 + (-5)^2} = \sqrt{0 + 25} = \sqrt{25} = 5.
\)

Теперь находим косинус и синус аргумента:

\(
\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{0}{5} = 0, \quad \sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{-5}{5} = -1.
\)

Аргумент \( \varphi \) определяется как:

\(
\varphi = -\frac{\pi}{2} + 2 \pi k,
\)

где \(k\) — любое целое число.

3) Для комплексного числа \(-3 + 3i\):
Это число можно представить в виде \(z = -3 + 3i\).
Находим модуль \(r\):

\(
r = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}.
\)

Теперь находим косинус и синус аргумента:

\(
\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{-3}{3 \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{3}{3 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.
\)

Аргумент \( \varphi \) определяется как:

\(
\varphi = \frac{3\pi}{4} + 2 \pi k,
\)

где \(k\) — любое целое число.

4) Для комплексного числа \(-1 + i \sqrt{3}\):
Это число можно представить в виде \(z = -1 + i \sqrt{3}\).
Находим модуль \(r\):

\(
r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2.
\)

Теперь находим косинус и синус аргумента:

\(
\cos \varphi = \frac{a}{r} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
\)

Аргумент \( \varphi \) определяется как:

\(
\varphi = \frac{2\pi}{3} + 2 \pi k,
\)

где \(k\) — любое целое число.